Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge. Eine Funktion   heißt harmonisch in  , falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle  

 

gilt. Dabei bezeichnet   den Laplace-Operator.

MittelwerteigenschaftBearbeiten

Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion   ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

 

für alle Kugeln   mit  . Hierbei bezeichnet   den Flächeninhalt der  -dimensionalen Einheitssphäre (siehe Sphäre (Mathematik)#Inhalt und Volumen).

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes   nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss  , so werden Maximum und Minimum auf dem Rand   angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei   harmonisch in  . Dann gilt für die Ableitungen
     
    wobei   das Volumen der  -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion   ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge   gibt es eine Konstante  , die nur von dem Gebiet   abhängt, so dass für jede in   harmonische und nichtnegative Funktion  
     
    gilt.
  • Im Sonderfall   für ein einfach zusammenhängendes Gebiet   können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

BeispielBearbeiten

Die Grundlösung

 

ist eine auf   harmonische Funktion, worin   das Maß der Einheitssphäre im   bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

 

Für m=2 (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

LiteraturBearbeiten

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).