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Satz von Stokes

Integralsatz, mathematischer Satz zur Differentialgeometrie

Der Satz von Stokes oder stokessche Integralsatz ist ein nach Sir George Gabriel Stokes benannter Satz aus der Differentialgeometrie. In der allgemeinen Fassung handelt es sich um einen sehr grundlegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erweitert und eine Verbindungslinie von der Differentialgeometrie zur Algebraischen Topologie eröffnet. Dieser Zusammenhang wird durch den Satz von de Rham beschrieben, für den der Satz von Stokes grundlegend ist.

Es geht darum, -dimensionale Volumenintegrale über das Innere in -dimensionale Randintegrale über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln. Häufig werden nur spezielle Varianten des allgemeinen Satzes betrachtet, aus denen das allgemeine Prinzip mehr oder minder gut ersichtlich ist, die aber für die jeweiligen Anwendungen wichtig sind. Die beiden wichtigsten Spezialfälle, der Gauß'sche Integralsatz und der spezielle Stokes'sche Integralsatz (siehe unten) entstammen der Vektoranalysis. In der Physik und der Elektrotechnik erlaubt der spezielle Satz von Stokes beziehungsweise der von Gauß elegante Schreibweisen physikalischer Zusammenhänge, zum Beispiel bei den integrierten Formen der Maxwell'schen Gleichungen.

Integralsatz von StokesBearbeiten

AussageBearbeiten

Sei   eine orientierte n-dimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand   mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre) oder den Torus (Rettungsring), gegeben.

Sei ferner   eine auf   (bzw. in einer hinreichend großen offenen Umgebung) definierte alternierende Differentialform vom Grad  , die als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

Dann gilt die folgende Aussage, die nach Stokes benannt wurde:

 

wobei   die Cartan-Ableitung bezeichnet. Das rechte Integral kann man als Oberflächenintegral verstehen oder allgemeiner als Integral über die Mannigfaltigkeit  .

Die Cartan-Ableitung   ist hier gewissermaßen „dual“ zu der topologischen Operation  , wodurch sich die in dieser Formel enthaltene Querbeziehung zwischen Aspekten der Analysis und topologisch-algebraischen Aspekten ergibt.

AnmerkungenBearbeiten

Unter der sehr allgemeinen Voraussetzung, dass     gilt, mit  -dimensionalen Basisformen  , zum Beispiel mit

 
 

und mit dem „wedge- Produkt“  , das unter anderem die Bedingung der Antisymmetrie erfüllt,  , besagt die äußere Ableitung konkret das Folgende:

 

Besonders einfach wird der Beweis des „Hauptsatzes“, wenn wie beim nebenstehenden Beispiel eines Normalgebietes die Integrationsmannigfaltigkeit (in der Zeichnung   genannt) in vertikale Streifen (in  -Richtung) so segmentiert werden kann, dass nur an der gelb eingezeichneten „Oberseite“ und an der rot eingezeichneten „Unterseite“ nichttriviale Beiträge entstehen, und zwar wegen der ebenfalls eingezeichneten Orientierung (die Pfeilrichtungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen.

FolgerungBearbeiten

Sei   offen und   eine stetig differenzierbare  -Form in  . Dann gilt für jede orientierte kompakte randlose  -dimensionale Untermannigfaltigkeit   die Aussage:

 

AnwendungenBearbeiten

Der (allgemeine) Satz von Stokes wird vor allem in der Mathematik verwendet. Er

  • enthält als Spezialfälle für Physiker und Elektro-Ingenieure den Satz von Gauß und den speziellen Satz von Stokes (siehe unten), und
  • bildet zweitens eine konkrete Verbindung zwischen differentialgeometrischen und algebraischen Aspekten der Topologie, indem etwa in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zwei verschiedene Wege   und  , die vom gleichen Anfangspunkt ausgehen und zum gleichen Endpunkt führen, als topologisch homolog definiert werden, wenn für gewisse einstufige Differentialformen   das Kurvenintegral   verschwindet. Entsprechende Begriffe der algebraischen Topologie kann man auch mit dem höherdimensionalen Stokes'schen Satz aufbauen.

Integralsatz von Stokes für KettenBearbeiten

Integration über KettenBearbeiten

Sei   ein glatter  -Simplex und   eine glatte, geschlossene Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit  . Dann ist das Integral über   definiert durch

 .

Dabei bezeichnet   den Rücktransport von   bezüglich  . Die Definition ergibt Sinn, da   eine glatte Untermannigfaltigkeit mit Rand und induzierter Orientierung von   ist. (Oder man versteht   einfach als abgeschlossene Teilmenge des  .) Im Fall   entspricht die Definition dem gewöhnlichen Kurvenintegral. Ist   eine glatte  -Kette des singulären Komplexes, dann ist das Integral von   über   definiert als

 

Für den Fall   findet man die Definition und weitere Informationen im Artikel Zyklus (Funktionentheorie).

AussageBearbeiten

Sei   eine glatte  -Kette des singulären Komplexes und   eine glatte  -Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit  . Dann gilt

 

Mit   wird der Randoperator des singulären Komplexes bezeichnet.

AnwendungBearbeiten

Dieser Satz zeigt eine Verbindung zwischen differentialgeometrischen und topologischen Eigenschaften einer glatten Mannigfaltigkeit auf. Betrachtet man nämlich die De-Rham-Kohomologie   und die singuläre Homologie   von  , so erhält man durch

 

mit   einen Homomorphismus. Aufgrund des Satzes von Stokes ist dieser Homomorphismus wohldefiniert und es kommt nicht auf die Wahl des Repräsentanten   der Homologieklasse an. Seien   und   zwei Repräsentanten der gleichen singulären Homologieklasse, dann gilt  , denn zwei Repräsentanten unterscheiden sich nur um ein Element des Randes. Daher folgt mit dem Satz von Stokes

 

Die letzte Gleichheit gilt, da   ein Element der De-Rham-Kohomologie ist und daher   gilt. Ist   eine exakte Differentialform dann gilt

 

Nach dem zentralen Satz von de Rham ist der Homomorphismus sogar ein Isomorphismus.

Zugrundeliegendes topologisches PrinzipBearbeiten

Hinter dem Stokes'schen Satz steckt ein allgemeines topologisches Prinzip, das in seiner einfachsten Form besagt, dass sich bei „orientierter Pflasterung eines Flächenstücks“ im Innern die Wege „wegen Gegenverkehrs“ paarweise aufheben, sodass nur die Randkurve übrig bleibt.

 
Pflasterung

Links in der Skizze sieht man vier kleine, gleich orientierte „Pflastersteine“. Die in der Mitte eingezeichneten „inneren Wege“ werden paarweise in entgegengesetzter Richtung durchlaufen; ihre Beiträge zum Linienintegral heben sich deshalb gegenseitig auf, sodass nur der Beitrag der Randkurve übrigbleibt. Es genügt also, die Integralsätze nur für möglichst kleine „Pflastersteine“ zu beweisen.

Bei hinreichender Verfeinerung der Pflasterung ist das im Allgemeinen fast elementar.

SpezialfälleBearbeiten

Mehrere Spezialfälle des allgemeinen Satzes von Stokes sind in der klassischen Vektoranalysis von Bedeutung. Dazu gehört natürlich der klassische Satz von Stokes. Er folgt aus dem allgemeinen Satz mit  . Außerdem sind auch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der Satz von Green und der Gauß'sche Integralsatz Spezialfälle des allgemeinen Stokes'schen Satzes.

Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungBearbeiten

Sei   ein offenes Intervall und   eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist   eine 1-Form (sog. Pfaff'sche Form), und der allgemeine Stokes'sche Integralsatz entartet zu

 

Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Gaußscher IntegralsatzBearbeiten

Für eine kompakte Teilmenge   des   und ein n-dimensionales Vektorfeld   erhält man als einen weiteren Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

 

Dabei ist   der  -dimensionale Normalen-Einheitsvektor und die Integrale sind jetzt  - beziehungsweise  -dimensional, wobei die Größe   auch als   geschrieben wird. Wählt man

 

so ergibt sich der gaußsche Integralsatz aus dem stokesschen.

Man kann diesen Satz auch zur Definition der Divergenz eines Vektorfeldes benutzen, wobei diese Definition unabhängig von den benutzten Koordinaten ist.

Klassischer Integralsatz von StokesBearbeiten

 
Zum klassischen Satz von Stokes: Dargestellt ist die (gekrümmte) Fläche  , deren Randkurve   (angedeutet durch die Pfeile) und der Normalenvektor   (im Text   genannt).
 
William Thomson (Lord Kelvin)

Der klassische Integralsatz von Stokes ist auch als Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz bekannt. Er findet bei Physikern und Elektrotechnikern Anwendung vor allem im Zusammenhang mit den Maxwell'schen Gleichungen. Er besagt, dass ein Flächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes in ein geschlossenes Kurvenintegral über die Tangentialkomponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Dies ist hilfreich, da das Kurvenintegral das Vektorfeld allein enthält und in der Regel einfacher zu berechnen ist als Flächenintegrale, zumal dann, wenn die betrachtete Fläche gekrümmt ist. Darüber hinaus sind die Kurvenintegrale in vielen Anwendungen unmittelbar betroffen – und erst in zweiter Linie die zugehörigen Flächenintegrale – zum Beispiel beim faradayschen Induktionsgesetz. Ist speziell   gegeben, so führt die Tatsache, dass viele verschiedene Mannigfaltigkeiten   in eine einzige geschlossene Randmannigfaltigkeit    „eingezwängt“ werden können, zu der Eichinvarianz von Theorien wie der von Maxwell.

AussageBearbeiten

Es sei   eine offene Teilmenge des dreidimensionalen Raumes und   ein auf   definiertes einmal stetig differenzierbares Vektorfeld. Dies wird gefordert, damit der Ausdruck   gebildet werden kann. Weiter sei   eine in   enthaltene zweidimensionale reguläre Fläche, die durch ein Einheitsnormalenfeld   orientiert ist (das heißt, es sei definiert, was die „Oberseite“ der Fläche ist). Außerdem ist   der Tangenteneinheitsvektor der Randkurve. Mit der Eigenschaft regulär wird sichergestellt, dass der Rand hinreichend glatt ist.

Der Rand von   wird mit   bezeichnet. Im Folgenden wird dieser Rand   stets mit einer geschlossenen Kurve identifiziert. Mit all diesen Voraussetzungen gilt

 .

In den Anwendungen schreibt man auch

 ,

mit   und  . Ferner ist   die Rotation, und   (beziehungsweise  ) das Skalarprodukt der zwei Vektoren  . Die Form   ist die Volumenform der zweidimensionalen Fläche   und   ist das Längenelement der Randkurve.

AnmerkungenBearbeiten

In dem Fall, dass   eine flache Teilmenge darstellt, gilt in geeigneten Koordinaten  . Ist   nicht flach, so lässt sich unter der Voraussetzung, dass sich die zweidimensionale Fläche mit der Parametrisierung

  mit  

in   Segmente zerlegen lässt, die Volumenform für festes   durch

 

berechnen. Auch der Vektor   lässt sich analog berechnen, und zwar ist   der aus den drei Komponenten des Vektorprodukts   gebildete Einheitsvektor, das heißt

 .

BeispielBearbeiten

Es sei   eine als Normalgebiet bezeichnete flache Mannigfaltigkeit, welche den Anforderungen des Satzes genügt, und das Vektorfeld   gegeben durch  . Das Einheitsnormalenfeld   sei gegeben durch   Dann gilt

 

Nach dem Satz von Stokes gilt

 

Dieses Beispiel zeigt, dass der Satz von Green ein Spezialfall des stokesschen Integralsatzes ist.

LiteraturBearbeiten