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In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man als Pullback oder Rücktransport (auch: Zurückziehung, Rückzug) Konstruktionen, die ausgehend von einer Abbildung und einem Objekt , das in irgendeiner Weise zu gehört, ein entsprechendes, „entlang von zurückgezogenes“ Objekt für liefern; es wird häufig mit bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist Pushforward.

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das Faserprodukt. Das duale Konzept wird hier Pushout, cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt.

Motivation: Der Rücktransport einer glatten FunktionBearbeiten

Sei   ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei   eine glatte Funktion auf  . Dann ist der Rücktransport von   bezüglich   definiert durch

  mit  

Der Rücktransport   ist also eine glatte Funktion  .

Schränkt man die Funktion   auf eine offene Teilmenge   ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf  . Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den Garben der glatten Funktionen von   und  .

Der Rücktransport eines VektorbündelsBearbeiten

 
Schema eines Pull-Back am Beispiel der Kotangentialbündel

Seien   und   topologische Räume,   ein Vektorbündel über   und   eine stetige Abbildung. Dann ist das zurückgezogene Vektorbündel   definiert durch

 

zusammen mit der Projektion  .[1] Meist notiert man dieses Vektorbündel mittels   und nennt es auch Pullbackbündel von   bezüglich  .

Ist   ein Schnitt im Vektorbündel  , so ist   der zurückgezogene Schnitt, der durch

 

für alle   gegeben ist.

Das zurückgezogene Vektorbündel ist ein Spezialfall eines Faserproduktes. Im Bereich der Differentialgeometrie werden meist glatte Mannigfaltigkeiten anstatt beliebiger topologischer Räume   und   betrachtet. Dann wird auch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung   und das Vektorbündel differenzierbar sind.

Dualer OperatorBearbeiten

Seien   und   zwei Vektorbündel und   eine stetige Abbildung, so dass   der entsprechende Rücktransport ist. Der duale Operator des Rücktransports ist der Pushforward   von  .

 
Schema eines Pushforward, TN ist das Tangentialbündel zur Mannigfaltigkeit N

Rücktransport bestimmter ObjekteBearbeiten

In diesem Abschnitt sind   und   glatte Mannigfaltigkeiten und sei   eine glatte Abbildung.

Glatte FunktionenBearbeiten

Die Menge   der glatten Funktionen   kann auf natürliche Weise mit dem Vektorraum   der glatten Schnitte im Vektorbündel   aufgefasst werden.[2] Entsprechend kann der Rücktransport einer glatten Funktion   auch als Rücktransport eines glatten Schnittes des Vektorbündels   aufgefasst werden.

DifferentialformenBearbeiten

Da die Menge der Differentialformen ein Vektorbündel bildet, kann man den Rücktransport einer Differentialform untersuchen.

Ist   eine differenzierbare Abbildung und   eine k-Form auf  , so ist die auf   zurückgezogene Differentialform  , die im Fall von 1-Formen durch

 

für Tangentialvektoren   im Punkt   gegeben.

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, S. 18 online (PDF; 1,11 MB).
  2. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 111.