Rücktransport

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man als Rücktransport[1] oder Pullback (auch: Zurückziehung, Rückzug) Konstruktionen, die ausgehend von einer Abbildung und einem Objekt , das in irgendeiner Weise zu gehört, ein entsprechendes, „entlang von zurückgezogenes“ Objekt für liefern; es wird häufig mit bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist Pushforward.

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das Faserprodukt. Das duale Konzept wird hier Pushout, cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt.

Motivation: Der Rücktransport einer glatten FunktionBearbeiten

Sei   ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei   eine glatte Funktion auf  . Dann ist der Rücktransport von   bezüglich   definiert durch

  mit  

Der Rücktransport   ist also eine glatte Funktion  .

Schränkt man die Funktion   auf eine offene Teilmenge   ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf  . Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den Garben der glatten Funktionen von   und  .

Der Rücktransport eines VektorbündelsBearbeiten

Seien   und   topologische Räume,   ein Vektorbündel über   und   eine stetige Abbildung. Dann ist das zurückgezogene Vektorbündel   definiert durch

 

zusammen mit der Projektion  .[2]

Es kann nun gezeigt werden, dass es einen Vektorbündelhomomorphismus   gibt, so dass das Diagramm

 

kommutiert.[2] Somit ist das zurückgezogene Vektorbündel ein Spezialfall eines Faserproduktes. Für einen fixierten Punkt   ist   eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, daher gibt es eine duale Abbildung  . In diesem Kontext wird das zurückgezogene Vektorbündel   auch mittels   notiert und man nennt es auch Pullbackbündel von   bezüglich  .

Zurückgezogene Schnitte in VektorbündelnBearbeiten

 
Schema eines Pullbacks am Beispiel der Kotangentialbündel

Im Bereich der Differentialgeometrie werden meist glatte Mannigfaltigkeiten anstatt beliebiger topologischer Räume   und   betrachtet. Dann wird auch zusätzlich gefordert, dass die Abbildung   und das Vektorbündel differenzierbar sind. Betrachtet man die entsprechenden Tangentialräume anstatt beliebiger Vektorbündel, so ist die Abbildung   der Pushforward von   und die zurückziehende Abbildung   ist die duale Abbildung.[3]

Ist   ein Schnitt im Vektorbündel  , so ist   der zurückgezogene Schnitt, der durch

 

für alle   gegeben ist.

Rücktransport bestimmter Schnitte in VektorbündelnBearbeiten

Im vorigen Abschnitt wurde der Rücktransport eines Schnitts in einem Vektorbündel definiert. In diesem Abschnitte werden konkrete Instanzen solcher Rücktransporte von Schnitten aufgeführt. Dazu sind in diesem Abschnitt   und   glatte Mannigfaltigkeiten und   eine glatte Abbildung.

Glatte FunktionenBearbeiten

Die Menge   der glatten Funktionen   kann auf natürliche Weise mit dem Vektorraum   der glatten Schnitte im Vektorbündel   identifiziert werden.[4] Entsprechend kann der Rücktransport einer glatten Funktion   auch als Rücktransport eines glatten Schnittes des Vektorbündels   aufgefasst werden.

1-FormenBearbeiten

Der Pushforward von   entspricht gerade der äußeren Ableitung von  , was ein Vektorbündelhomomorphismus vom Tangentialraum   in den Tangentialraum   ist. Der duale Operator   ist somit ein Bündelhomomorphismus vom Kotangentialbündel   in das Kotangentialbündel  .

Sei   ein glatter Schnitt in  , was per Definition eine 1-Form ist. Dann gilt für den Rücktransport von  

 

für ein  .[3]

DifferentialformenBearbeiten

Da die Menge der Differentialformen ein Vektorbündel bildet, kann man den Rücktransport einer Differentialform untersuchen.

Ist   eine differenzierbare Abbildung und   eine k-Form auf  , so gilt für die auf   zurückgezogene Differentialform   die Gleichung

 

für Tangentialvektoren   im Punkt   gegeben.[5]

LiteraturBearbeiten

  • R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Otto Forster: Riemannsche Flächen (= Heidelberger Taschenbücher 184). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1. S. 62 (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7).
  2. a b Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, S. 18 online (PDF; 1,11 MB).
  3. a b John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 136.
  4. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 111.
  5. John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 303.