Projektion (Mengenlehre)

Begriff aus der Mathematik

Die (kanonische) Projektion, Projektionsabbildung, Koordinatenabbildung oder Auswertungsabbildung ist in der Mathematik eine Abbildung, die ein Tupel auf eine der Komponenten des Tupels abbildet. Allgemeiner ist eine Projektion eine Abbildung von dem kartesischen Produkt einer Familie von Mengen auf das kartesische Produkt einer Teilfamilie dieser Mengen, die Elemente mit bestimmten Indizes auswählt. Unter der Annahme des Auswahlaxioms ist eine Projektion einer beliebigen Familie nichtleerer Mengen stets surjektiv. Projektionen werden unter anderem in der Mengenlehre, in der Topologie, in der Maßtheorie oder als Operatoren in relationalen Datenbanken verwendet.

DefinitionBearbeiten

Ist   eine Familie von Mengen, wobei   eine beliebige Indexmenge ist, dann wird mit   das kartesische Produkt dieser Mengen bezeichnet. Ist nun   eine Teilmenge von  , dann ist die Projektion   auf diese Teilmenge die Abbildung

 .

Durch die Projektion   werden demnach aus einer Familie von Elementen   diejenigen ausgewählt, deren Indizes in der Menge   enthalten sind. Im Fall einer einelementigen Menge   wird die Projektion   auch einfach durch   notiert.[1]

BeispieleBearbeiten

Geordnete PaareBearbeiten

Besteht die Indexmenge aus genau zwei Elementen,  , dann ist das kartesische Produkt   die Menge der geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen   und  . Die Projektionen

 

und

 

bilden dann ein Paar   auf seine erste beziehungsweise seine zweite Komponente ab. Sind beispielsweise   die kartesischen Koordinaten eines Punkts in der euklidischen Ebene, dann ergeben die Projektionen   und   jeweils die  - und die  -Koordinate des Punkts. Diese Projektionen sind formal von (orthogonalen) Projektionen auf die beiden Koordinatenachsen zu unterscheiden, die Abbildungen   mit   beziehungsweise   darstellen.

TupelBearbeiten

Besteht die Indexmenge aus   Elementen,  , dann ist das kartesische Produkt   die Menge aller  -Tupel, bei denen die  -te Komponente ein Element   ist. Die Projektion   ist dann die Abbildung

 ,

die ein Tupel auf seine  -te Komponente abbildet.[2] Jedes Tupel   hat somit die Darstellung  .

FunktionenBearbeiten

Sind die Mengen   alle gleich einer Menge  , dann ist das kartesische Produkt   die Menge aller Funktionen  . Die Projektion   ist dann die Abbildung

 ,

die eine Funktion auf ihren Funktionswert für das Argument   abbildet. Diese Abbildung wird daher auch als Auswertungsabbildung bezeichnet.[1][3]

EigenschaftenBearbeiten

SurjektivitätBearbeiten

Ist die Indexmenge   endlich und sind die Mengen   nichtleer, dann ist eine Projektionsabbildung stets surjektiv, das heißt

 .

Um sicherzustellen, dass das kartesische Produkt einer beliebigen Familie nichtleerer Mengen ebenfalls nichtleer ist, wird allerdings das Auswahlaxiom benötigt. Tatsächlich ist die vorstehende Aussage sogar äquivalent zum Auswahlaxiom. Unter der Annahme des Auswahlaxioms ist eine Projektionsabbildung dann auch für eine beliebige Familie nichtleerer Mengen stets surjektiv.[4]

UrbildBearbeiten

Ist   eine echte Teilmenge der Indexmenge   und ist   eine Teilmenge der Zielmenge einer Projektion  , dann hat das Urbild von   die Darstellung

 .

Die Mengen   werden entsprechend auch als Zylindermengen bezeichnet.[5]

VerwendungBearbeiten

TopologieBearbeiten

Sind   für   topologische Räume, dann ist die Produkttopologie auf   die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen   stetig sind. Die Zylindermengen der Form  , wobei   eine offene Teilmenge von   ist, bilden dabei eine Subbasis für den Produktraum  . Der Produktraum kann auch durch die folgende universelle Eigenschaft eines kategoriellen Produkts charakterisiert werden: ist   ein topologischer Raum und ist die Abbildung   für jedes   stetig, dann gibt es genau eine stetige Funktion  , sodass

 

für alle   gilt. Umgekehrt ist eine gegebene Funktion   genau dann stetig, wenn alle Projektionen   stetig sind. Zusätzlich zur Stetigkeit sind die Projektionen   offene Abbildungen, das heißt jeder offene Teilraum   des Produktraums   bleibt offen, wenn er auf eine Menge   projiziert wird. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: ist   ein Teilraum des Produktraums, dessen Projektionen   alle offen sind, dann muss   selbst in   nicht offen sein. Die Projektionen   sind im Allgemeinen auch keine abgeschlossenen Abbildungen.

MaßtheorieBearbeiten

Sind   für   Messräume, dann ist die Produkt-σ-Algebra

 

die kleinste σ-Algebra auf dem kartesischen Produkt  , sodass alle Projektionen auf die Einzelmengen   messbar sind. Die Produkt-σ-Algebra wird auch von dem System aller Zylindermengen mit endlicher Indexmenge   erzeugt. In der Maßtheorie und Stochastik bilden Produkt-σ-Algebren die Grundlage für Produktmaße und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräume.[3]

InformatikBearbeiten

Projektionen werden auch als Operatoren in relationalen Datenbanken eingesetzt. Ist hierzu   eine Relation und   eine Teilmenge der Attributmenge, dann ist das Ergebnis der Projektion

 

eine neue Relation, die nur die Attribute aus der angegebenen Attributliste enthält. In der Ergebnisrelation werden dabei doppelte Einträge gelöscht.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Paul Halmos: Naive set theory. Springer, 1960, S. 36.
  2. Gerd Fischer: Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger. Springer, 2008, S. 38.
  3. a b Jochen Wengenroth: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, 2008, S. 14.
  4. Stephen Willard: General Topology. Courier Dover Publications, 2012, S. 52.
  5. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, 2014, S. 6.