Gröbere und feinere Topologien

Teilgebiet der Topologie
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Gröbere und feinere Topologien sind in dem mathematischen Teilgebiet der Topologie spezielle Mengensysteme, die in einer gewissen Beziehung zueinander stehen. Dabei heißt eine Topologie eine gröbere Topologie als eine andere Topologie, wenn sie in dieser enthalten ist, und eine feinere Topologie, wenn sie diese enthält.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Menge  , versehen mit zwei Topologien   und  . Ist

 ,

so heißt die Topologie   stärker oder feiner als  . Umgekehrt wird dann   schwächer oder gröber als   genannt.

BeispieleBearbeiten

Für ein gegebenes   ist die triviale Topologie

 

die gröbste mögliche Topologie und somit in jeder weiteren Topologie enthalten. Dies gilt bereits aufgrund der Definition einer Topologie, die immer die Grundmenge und die leere Menge enthalten muss.

Umgekehrt ist die diskrete Topologie

 

die feinste Topologie, da sie per Definition der Potenzmenge alle Teilmengen der Grundmenge enthält. Es kann somit keine Topologie geben, die echt mehr Mengen als   enthält.

Ein nichttriviales Beispiel von gröberen und feineren Topologien sind die schwache Topologie und die Normtopologie auf normierten Räumen. Dabei ist die schwache Topologie als Initialtopologie definiert: Sie ist die gröbste Topologie auf dem Grundraum  , so dass alle linearen normstetigen Funktionale auf   stetig sind. Die Normtopologie wird hingegen von den Norm-Kugeln

 

erzeugt. Die schwache Topologie ist dann schwächer (bzw. gröber) als die Normtopologie.

EigenschaftenBearbeiten

Für zwei Topologien   und   auf einer Menge   gilt: Es ist   genau dann, wenn die identische Abbildung   stetig ist.

In metrischen Räumen und normierten Räumen vererben sich viele Eigenschaften von den Metriken bzw. den Normen auf die entsprechenden Topologien. Ist beispielsweise die Norm   auf   eine stärkere Norm als  , so ist die von   induzierte Normtopologie feiner als die von   induzierte Normtopologie. Die analoge Aussage gilt auch für die von Metriken erzeugten Topologien.

Allgemein gilt: feinere Topologien haben

Verband der TopologienBearbeiten

Ist   eine Menge, so lässt sich auf natürliche Weise durch Inklusion eine Halbordnung auf   definieren. Diese Halbordnungsstruktur vererbt sich auf die Menge

 .

Es gilt sogar noch mehr:   wird bezüglich der durch die Inklusion induzierten Halbordnung zu einem vollständigen Verband:[1]

Man definiert dazu für zwei Topologien  

  als den Schnitt   sowie
  als die von   erzeugte Topologie,

da die Vereinigung von Topologien im Allgemeinen nur die Subbasis einen Topologie liefert. Weiter definiert man für beliebige und damit insbesondere unendliche Familien  

  als den Schnitt   sowie
  als die von der Subbasis   erzeugte Topologie.

Als vollständiger Verband ist   auch beschränkt, in diesem Falle durch die diskrete Topologie einerseits und die indiskrete Topologie andererseits. Der Verband   ist jedoch nicht distributiv.[2]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. René Bartsch: Allgemeine Topologie. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 79 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. H.J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 2014, ISBN 978-3-034-86906-5, S. 59 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).