Eine Subbasis ist in der mathematischen Grundlagendisziplin der mengentheoretischen Topologie ein spezielles Mengensystem von offenen Mengen. Eine Subbasis bestimmt eine Topologie eindeutig und vereinfacht damit oftmals Beweise, da es ausreichend ist, sich auf die Mengen der Subbasis zu beschränken. Ebenso werden manche Eigenschaften von Topologien auch als Eigenschaften ihrer Subbasen definiert.

Umgekehrt lässt sich jedes Mengensystem als Subbasis auffassen und ermöglicht es so, gezielt Topologien mit bestimmten Eigenschaften zu konstruieren.

In der aus dem Russischen ins Englische übersetzten Literatur findet sich auch die Bezeichnung "Pre-Base" (deutsch: Prä-Basis) anstelle der typischen englischen Bezeichnungen subbase oder subbasis.[1]

DefinitionBearbeiten

Es gelten die Konventionen

  und  .

Gegeben sei ein Topologischer Raum   sowie ein Mengensystem  . Dann heißt   eine Subbasis der Topologie  , wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  • Jede offene Menge   ist die Vereinigung von beliebig vielen Mengen, die selbst Schnitte von endlich vielen Mengen aus   sind.
  • Die Menge aller Schnitte von endlich vielen Mengen aus  , also
 
bildet eine Basis der Topologie  .
  •   erzeugt   in dem Sinne, dass
  •   die (bezüglich Teilmengenbeziehung) kleinste Topologie ist, die   enthält, und
  • jede weitere Topologie, die   enthält, immer feiner ist als  .

BeispieleBearbeiten

Ist   eine unendliche Menge, so bildet die Menge aller endlichen Teilmengen einer vorgegebenen, endlichen Mächtigkeit  , also

 

eine Subbasis der diskreten Topologie, die durch   gegeben ist. Denn es gilt nach Auswahl geeigneter   aus  , dass   für ein vorgegebenes  . Somit lassen sich aus   alle einelementigen Teilmengen von   erzeugen. Diese bilden dann eine Basis der diskreten Topologie.

Eine Subbasis der natürlichen Topologie auf den reellen Zahlen ist gegeben durch

 ,

wobei

  und  

ist. Denn die Menge der offenen Intervalle bildet eine Basis der natürlichen Topologie, und jedes offene Intervall lässt sich aus der Subbasis durch

 

erzeugen.

EigenschaftenBearbeiten

Nicht-EindeutigkeitBearbeiten

Subbasen bestimmen zwar die Topologie eindeutig, im Allgemeinen besitzt eine Topologie aber mehr als eine Subbasis. So bilden sowohl

  als auch
 

eine Subbasis von  . Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf   nicht bloß die oben als Beispiel angegebene Subbasis. Es genügt beispielsweise auch, Intervalle der Form   und   für rationale Intervallgrenzen, also für   zu betrachten.

Erzeugung von Topologien durch SubbasenBearbeiten

So wie eine Topologie ihre Subbasen bestimmt, kann man ebenso durch eine Subbasis eine Topologie bestimmen. Dazu wählt man ein beliebiges Mengensystem   und erklärt dies zur Subbasis einer vorerst nicht näher präzisierten Topologie. Zu beachten ist hier, dass dies im Gegensatz zum analogen Verfahren mit Basen ohne jegliche Voraussetzung an das Mengensystem möglich ist.

Formell wird dieses Verfahren, das sich in der dritten der oben gegebenen Definitionen widerspiegelt, durch den Hüllenoperator

 .

Dieser Hüllenoperator liefert wieder eine Topologie, da der Schnitt von Topologien wieder eine Topologie ist. Des Weiteren ist diese Topologie die gröbste Topologie, die das vorgegebene Mengensystem   enthält.

Wichtige Aussagen mittels SubbasenBearbeiten

  • Die Initialtopologie einer Familie von Abbildungen   von   in die topologischen Räume   ist genau die Topologie auf  , deren Subbasis aus den Urbildern offener Mengen, also aus   für  , besteht. Da sowohl die Teilraumtopologie als auch die Produkttopologie Spezialfälle der Initialtopologie sind, lassen sich diese Topologien ebenso über ihre Subbasen definieren.
  • Satz von Alexander: Es genügt, Kompaktheit für Mengen aus einer Subbasis zu überprüfen.
  • Ebenfalls genügt es, Stetigkeit auf einer Subbasis zu überprüfen. Ist also   eine Abbildung von   nach   und   eine beliebige Subbasis von  , so ist   genau dann stetig, wenn   ist.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M.I. Voitsekhovskii: Pre-Base. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).