Umgebungsbasis

Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Räumen wie lokalkompakte Räume und lokalkonvexe Räume definieren. Außerdem greift das erste Abzählbarkeitsaxiom auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften. Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum   und darin ein  .

Dann heißt eine Familie

 

von Umgebungen von   eine Umgebungsbasis von  , wenn jede Umgebung von   Obermenge einer der Mengen   für mindestens ein   ist.

BeispieleBearbeiten

Betrachtet man den  , versehen mit einer beliebigen Norm  , so ist

 

die offene Kugel mit Radius   um den Punkt  . Eine Umgebungsbasis bezüglich der Normtopologie wird dann gebildet von

 .

In diesem Fall lässt sich auch eine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch

 .

Analog lässt sich in jedem metrischen Raum   eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln

 

definieren.

Spezialfall NullumgebungsbasisBearbeiten

Liegt ein topologischer Vektorraum   vor, so wird eine aus Umgebungen von   bestehende Umgebungsbasis   auch als Nullumgebungsbasis bezeichnet. Für jeden Punkt   und jede derartige Nullumgebungsbasis   gewinnt man eine Umgebungsbasis   von   durch Translation:

 

Verwandte BegriffeBearbeiten

Als Umgebungsfilter oder Umgebungssystem von   wird die Menge aller Umgebungen von   bezeichnet. Der Umgebungsfilter von   ist folglich die größtmögliche Umgebungsbasis von   und dem Namen entsprechend ein Filter.

EigenschaftenBearbeiten

Besitzt ein topologischer Raum eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man, dass er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Solche Räume sind aus mathematischer Sicht "klein" und leichter zu handhaben.

LiteraturBearbeiten