Quotientenabbildung

Quotientenabbildung, kanonische Surjektion oder kanonische Projektion ist ein mathematischer Begriff, der in vielen mathematischen Teilgebieten auftritt. Es handelt sich dabei um eine Abbildung, die jedem Element einer Menge, auf der eine Äquivalenzrelation vorliegt, seine Äquivalenzklasse zuordnet. In der Kategorientheorie wird der Begriff für Quotientenobjekte verallgemeinert.

BeispieleBearbeiten

  • Ist   ein Vektorraum und   ein Untervektorraum, so kann man den Quotientenvektorraum   bilden, der aus allen Nebenklassen   mit   besteht. Die Abbildung  , die den Vektor   auf   abbildet, nennt man die Quotientenabbildung.[1]
  • Ist allgemeiner   eine Gruppe mit einem Normalteiler  , so kann man die Quotientengruppe   der Nebenklassen   bilden, wobei  . Wieder nennt man die kanonische Abbildung   die Quotientenabbildung.

Beiden Beispielen liegt eine Äquivalenzrelation   zu Grunde. Im Vektorraumbeispiel hat man   genau dann, wenn  , und ganz analog im Gruppenbeispiel   genau dann, wenn  . Daher verallgemeinert die folgende Konstruktion obige Beispiele.

  • Es sei   eine Menge und   eine Äquivalenzrelation auf  . Dann sei   die Menge der Äquivalenzklassen  . Die Abbildung   heißt Quotientenabbildung.
  • Ist   eine surjektive Abbildung, so ist durch   eine Äquivalenzrelation gegeben. In diesem Falle ist die Abbildung   bijektiv. Man nennt dann auch   eine Quotientenabbildung.
  • Ist   eine surjektive Abbildung auf einem topologischen Raum  , so gibt es eine feinste Topologie auf  , bzgl. der   stetig ist, die sogenannte Quotiententopologie. Daher nennt man die Abbildung auch in diesem Fall eine Quotientenabbildung.[2]

Diese Beispiele werden in der Kategorientheorie zu sogenannten Quotientenobjekten verallgemeinert. In der Tat sind solche Quotientobjekte gewisse Epimorphismen, so dass es sich dabei im Wesentlichen um die hier vorgestellten Quotientenabbildungen handelt, allerdings müssen Morphismen in der Kategorientheorie keine Abbildungen sein.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Kap. 0, §1
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Kapitel 2.6.

Siehe auchBearbeiten