Epimorphismus

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Epimorphismus (von griechisch ἐπί epi „auf“ und μορφή morphē „Gestalt, Form“) ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der Algebra und der Kategorientheorie. In der universellen Algebra bezeichnet er einen Homomorphismus, der surjektiv ist. In der Kategorientheorie ist Epimorphismus der duale Begriff zu Monomorphismus und verallgemeinert den (mengentheoretischen) Begriff der surjektiven Abbildung.

Äquivalent sind die beiden Begriffe zumindest in den folgenden Fällen:

Epimorphismus in der KategorientheorieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der Kategorientheorie ist ein Epimorphismus ein Morphismus   mit folgender Eigenschaft:

Sind   beliebige Morphismen mit  , dann ist stets  . (Man sagt auch:   ist „rechtskürzbar“.)[1]

  (zusammen mit  ) heißt dann ein Quotientenobjekt von  .

In den Pfeildiagrammen der homologischen Algebra wird ein Epimorphismus   als kurze exakte Sequenz

 

oder unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils mit zwei Termen als

 

notiert.

Spezielle EpimorphismenBearbeiten

Ein Epimorphismus   heißt extremal, wenn er Epimorphismus ist und zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist  , wobei   ein Monomorphismus ist, dann muss   ein Isomorphismus sein.

BeispieleBearbeiten

Epimorphismen von Vektorräumen oder allgemein Moduln sowie (abelschen) Gruppen sind genau die surjektiven Homomorphismen.

Epimorphismen von Ringen sind im Allgemeinen nicht surjektiv, siehe unten.

In den Kategorien  ,   sind die Epimorphismen genau die extremalen Epimorphismen, und zwar die surjektiven Morphismen.

In der Kategorie der topologischen Räume sind die Epimorphismen die surjektiven stetigen Abbildungen und die extremalen Epimorphismen die Quotientenabbildungen.

In der Kategorie   der Hausdorff-Räume sind die extremalen Epimorphismen die gleichen wie in  , jedoch die Epimorphismen sind die stetigen Abbildungen mit dichtem Bild. Diese Tatsache wird häufig ausgenutzt bei so genannten „Dichteschlüssen“: Um zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich   (ein Hausdorff-Raum) gleich sind, genügt es zu zeigen, dass sie auf einer dichten Teilmenge   des Definitionsbereichs übereinstimmen. Die Inklusionsabbildung   ist ein Epimorphismus, woraus die Gleichheit auf dem gesamten Definitionsbereich folgt.

In der Kategorie   sind die Epimorphismen die linearen stetigen Abbildungen mit dichtem Bild (Banachräume sind Hausdorffsch) und die extremalen Epimorphismen sind die surjektiven stetigen linearen Abbildungen.

Epimorphismus in der universellen AlgebraBearbeiten

In der universellen Algebra ist ein Epimorphismus definiert als surjektiver Homomorphismus.

BeispieleBearbeiten

Ist   ein Homomorphismus, so ist   surjektiv, also ein Epimorphismus.

Zu jedem Normalteiler   einer Gruppe   gibt es einen kanonischen Epimorphismus  , der ein Element   von   auf seine Restklasse   abbildet.

Bekannteste Beispiele für kanonische Epimorphismen sind die Abbildungen, die einer ganzen Zahl ihren Rest bei Division durch eine natürliche Zahl   zuordnet, wobei dieser Rest als Element des Restklassenringes   aufgefasst wird.

Die Parallelprojektion ist in der linearen Algebra ein Vektorraum-Homomorphismus, der einen Vektorraum surjektiv auf einen Untervektorraum abbildet.

Nicht-surjektive Monoid-EpimorphismenBearbeiten

Betrachtet sei der Einbettungs-Morphismus   der natürlichen Zahlen   einschließlich der Null in die ganzen Zahlen   (beide sind Monoide mit der Addition   als Verknüpfung und   als neutralem Element):

 .

Er ist nicht surjektiv und somit kein Epimorphismus im Sinne der universellen Algebra. Er ist jedoch ein Epimorphismus in der Kategorie der Monoide.

Beweis: Es sei   ein Monoid mit der Operation   und dem neutralen Element  . Weiter seien   zwei ansonsten beliebige Monoid-Homomorphismen mit   Zu zeigen ist, dass   auf ganz  

Da   eingeschränkt auf die nicht-negativen ganzen Zahlen umkehrbar (und die Identität) ist, stimmen dort   und   überein. Dass sie auch auf den negativen Zahlen übereinstimmen, zeigt folgende Gleichungskette, die für ein beliebiges negatives   gilt (dabei sei   eine Notation für die additive Inverse von   so dass   dann positiv ist):

      Definition der  
      ist Monoid-Homomorphismus
    Eigenschaft in  
      ist Monoid-Homomorphismus
          stimmen auf den positiven Zahlen überein
      ist Monoid-Homomorphismus
    Eigenschaft in  
      ist Monoid-Homomorphismus
    Definition der  

Damit ist   auf dem ganzen Definitionsbereich  , also   ein Epimorphismus.      

Übrigens gilt schon die wesentlich stärkere Aussage:
Stimmen zwei Monoid-Homomorphismen   auf zwei konsekutiven Zahlen überein, dann stimmen sie überhaupt überein.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Steve Awodey: Category theory. Clarendon Press, Oxford 2010, ISBN 0-19-923718-2, S. 25.