Ende (Kategorientheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller Limes

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Ende ein spezieller Limes.

DefinitionBearbeiten

Es seien   Kategorien,   die zu   duale Kategorie und schließlich   ein Funktor.

Ein Ende von   ist ein Paar  , bestehend aus einem Objekt   und einer  -indizierten Familie von Pfeilen  , Projektionen genannt, derart, dass für alle Objekte   und Morphismen   das Diagramm

 

kommutiert. (Kurz:   ist eine dinatürliche Transformation  .)

Ein Ende ist zudem universell, das heißt für jedes alternative   mit entsprechenden Projektionen   gibt es einen eindeutig bestimmten Pfeil  , sodass   für alle   gilt.

NotationBearbeiten

Eine gebräuchliche Schreibweise für ein Ende von   ist

 .

BeispielBearbeiten

Für lokal kleine Kategorien   seien Funktoren   gegeben. Die Menge der natürlichen Transformationen von   nach   ist nun gerade ein Ende des Funktors  , der durch   erklärt ist, wobei   den Hom-Funktor von   bezeichne.

Obiges Diagramm ist hier

 

Die Projektionen des Endes ordnen jeder natürlichen Transformation   eine Komponente   zu. Auf der Ebene der Elemente von   sagt das Diagramm also aus, dass für Komponenten   und  

 

gilt. Die Universalität stellt sicher, dass   alle natürlichen Transformationen enthält.

Dieses Beispiel kann auch als eine Definition von natürlichen Transformationen interpretiert werden. Die Definition ist in dieser Form leicht auf angereicherte Kategorien und Funktoren verallgemeinerbar.

LiteraturBearbeiten

  • G. M. Kelly: Basic Concepts of Enriched Category Theory. In: Lecture Notes in Mathematics 64. Cambridge University Press, 1982 (mta.ca [abgerufen am 8. März 2014]).

WeblinksBearbeiten

  • end, Eintrag im nLab. (englisch)