Additiver Funktor

Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie

Additiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich dabei um Funktoren zwischen präadditiven Kategorien, die Gruppenhomomorphismen zwischen den Morphismengruppen definieren.

Definition

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Es seien   und   präadditive Kategorien. Ein Funktor   heißt additiv, falls die Abbildungen   für je zwei Objekte   und   aus   Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet man additive Funktoren auf additiven oder abelschen Kategorien, da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.

Charakterisierung

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Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:[1] Ein Funktor   ist genau dann additiv, wenn   für alle Objekte   aus  , wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist   eine direkte Summe, so auch  .

Beispiele

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  • Die Hom-Funktoren   von der Kategorie   der  -Moduln über einem Ring   in die Kategorie   der abelschen Gruppen,   ein fester  -Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren  
  • Die Tensorfunktoren   sind additiv, ebenso  
  • Halbexakte Funktoren sind additiv.[2]
  • Der Funktor   mit   für jeden Modul   und   für jeden Morphismus   ist nicht additiv.

Eigenschaften

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Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:

  • Additive Funktoren überführen Nullobjekte in Nullobjekte.[3]
  • Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.[4]
  • Ist   eine kurze exakte Sequenz und   ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz
 ,
wobei   für die  -te Linksableitung stehe.[5] Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt.
  • Ist   eine Folge additiver Funktoren und natürlicher Transformationen   und   und ist für jeden projektiven Modul   die Sequenz
 
exakt, so hat man für beliebige Moduln   eine lange exakte Sequenz[6]
 .

Einzelnachweise

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  1. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.
  2. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.
  3. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 23.
  4. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Satz 24.
  5. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.
  6. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.