Ein exponentiales Objekt (oder kurz Exponential) ist eine Verallgemeinerung der Funktionenräume in der Kategorientheorie. Kategorien, die alle endlichen Produkte und Exponentiale besitzen, nennt man kartesisch abgeschlossen.[1]

Definition

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Sei   eine Kategorie,   und   Objekte in  . Weiter soll   alle binären Produkte mit   enthalten. Ein Objekt   zusammen mit einem Morphismus   wird Exponential genannt, falls für jedes Objekt   mit Morphismus   ein eindeutiger Morphismus   (genannt Transposition von  ) existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

 
Universal property of the exponential object

Diese eindeutige Zuweisung eines   zu jedem   erzeugt einen Isomorphismus  

Adjungierte Funktoren

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Bezeichnet man bei festem Objekt   mit   den Produktfunktor, der jedes Objekt   auf   abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, und mit   den Exponentialfunktor, der jedes Objekt   auf das exponentiale Objekt   abbildet mit der offensichtlichen Wirkung auf Morphismen, so besagt obige Beziehung nichts anderes, als dass   linksadjungiert zu   ist[2], in Zeichen

 .

Einzelnachweise

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  1. Exponential Object. Abgerufen am 14. Oktober 2020.
  2. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. I.6: Exponentials