Ein Potenzmengenfunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Funktor in der Kategorie der Mengen, der einer Menge ihre Potenzmenge zuordnet. Für die Operation auf Morphismen unterscheidet man eine kovariante und eine kontravariante Version.

Im Folgenden sei die Kategorie der Mengen, das heißt die Objekte sind die Mengen und die Morphismen sind die Abbildungen zwischen den Mengen. Üblicherweise werden beide Funktoren, der kovariante und der kontravariante Funktor, mit bezeichnet. Zur Unterscheidung innerhalb dieses Artikels bezeichnen wir den kovarianten Funktor mit .

Der kovariante Potenzmengenfunktor Bearbeiten

Sei   der wie folgt auf Objekten und Morphismen definierte Endofunktor:

  • für eine Menge   sei   die Potenzmenge von  ,
  • für eine Abbildung   sei   definiert durch   für  , wobei   das Bild von   unter   sei.   wird oft mit   bezeichnet.[1][2]

Das Bild von   unter   wird häufig auch mit   bezeichnet. Wir verwenden hier eine andere Schreibweise, weil   sowohl als Element als auch als Teilmenge von   vorkommen kann und daher eine solche Unterscheidung nötig wird.

Da   und   für alle   und Abbildungen   und  , liegt tatsächlich ein kovarianter Funktor vor.

Der kovariante Potenzmengenfunktor ist nicht darstellbar, denn gäbe es eine Menge   mit   für alle Mengen  , so wäre insbesondere  , was aus Mächtigkeitsgründen nicht sein kann.[3]

Der kovariante Potenzmengenfunktor ist eine Monade. Einheit   und Multiplikation   sind gegeben durch   und  .[4] Algebren dieser Monade sind gerade vollständige Verbände.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor Bearbeiten

Sei   auf Objekten und Morphismen wie folgt definiert:

  • für eine Menge   sei   die Potenzmenge von  ,
  • für eine Abbildung   sei   definiert durch   für  , wobei   das Urbild von   unter   sei.

  wird oft mit   bezeichnet.[5][6]

Da   und   für alle   und Abbildungen   und  , liegt tatsächlich ein kontravarianter Funktor vor.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist darstellbar, denn bekanntlich besteht eine natürliche Isomorphie  , die eine Teilmenge   auf die Indikatorfunktion dieser Teilmenge abbildet.

Der kontravariante Potenzmengenfunktor   ist ein kovarianter Funktor  , wobei   die duale Kategorie bezeichnet. (Das ist nicht der oben beschriebene kovariante Potenzmengenfunktor  , denn der ist ja auf anderen Kategorien definiert und anders auf Morphismen.) Genauso hat man einen kovarianten Funktor  , der genau wie   definiert ist, aber andere Kategorien als Definitionsbereich bzw. Bildbereich hat und daher anders bezeichnet wird. Es besteht die Adjunktion  . Das ergibt sich aus obiger Darstellbarkeit und folgender Kette natürlicher Isomorphismen:

 

Der kontravariante Potenzmengenfunktor ist monadisch, genauer gilt:   ist monadisch.[7]

Der Potenzmengenfunktor in einem Topos Bearbeiten

Ein Topos ist eine Kategorie  , die alle endlichen Limites enthält, mit einem Objekt   und einer Funktion  , die jedem Objekt   aus   ein weiteres   zuordnet, so dass es in   natürliche Isomorphismen

  •  
  •  

gibt.

Dies ist eine der möglichen Definitionen eines Topos.[8]   ist der Unterobjektfunktor.   ist der Unterobjekt-Klassifizierer des Topos und   lässt sich durch passende Definition auf Morphismen zu einem kontravarianten Funktor   ausbauen, den man den Potenzmengenfunktor des Topos nennt.

Im Falle des Topos der Mengen   erhält man den oben beschriebenen kontravarianten Potenzmengenfunktor. Viele Eigenschaften dieses Funktors können für beliebige Topoi verallgemeinert werden.

Man erhält kovariante Funktoren   und   und wie schon in der Kategorie der Mengen besteht die wichtige Adjunktion  .[9]

Der Potezmengenfunktor ist auch in einem Topos monadisch, genauer gilt:   ist monadisch.[10][11] Dies ist ein wichtiger Baustein im Beweis der Aussage, dass jeder Topos auch alle endlichen Kolimites enthält.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7, Seite 13.
  2. Roy L. Crole: Categories for Types, Cambridge University Press 2008, ISBN 0-521-45701-7, Kap 2.3. Beispiel (3)
  3. Daniel Rosiak: Sheaf Theory through Examples: A User's Guide, The MIT Press 2022, ISBN 0-2625-4215-3, Seite 181, Beispiel 151
  4. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Beispiel 5.1.5.(i), S. 157.
  5. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Band 5). 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7, Seite 33.
  6. Roy L. Crole: Categories for Types, Cambridge University Press 2008, ISBN 0-521-45701-7, Kap 2.3. Beispiel (4)
  7. Emily Riehl: Category Theory in Context. AMS Dover Publications, 2016, ISBN 0-486-80903-X, Theorem 5.5.9, S. 177.
  8. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4, erste Definition in Kap. IV.1
  9. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4. Kap IV.5 Theorem 1
  10. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. Universitext, Berlin 1992, ISBN 0-387-97710-4. Kap IV.5 Theorem 3
  11. P. T. Johnstone: Topos Theory, Dover Publications Inc. 1977, ISBN 0-486-49336-9