Unterobjekt-Klassifizierer werden im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie untersucht. Es handelt sich um einen Monomorphismus, so dass jedes Unterobjekt auf diese Weise als Pullback dieses Monomorphismus längs eines eindeutig bestimmten Morphismus auftritt. Die Grundidee stammt aus der Kategorie der Mengen, in der eine Teilmenge mit der zugehörigen charakteristischen Funktion identifiziert werden kann.

Unterobjekt-Klassifizierer für Mengen

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Es sei   durch   definiert, das ist offenbar ein Monomorphismus in  , der Kategorie der Mengen. Ferner seien   eine Menge und   eine Teilmenge.

 

sei die charakteristische Funktion der Teilmenge  . Bezeichnet man die Inklusion   mit  , so hat man folgendes Diagramm

 ,

das offenbar kommutativ ist, denn beide möglichen Pfade bilden alles auf 1 ab. Mehr noch, dieses Diagramm ist sogar ein Pullback, denn macht auch   das Diagramm

 

kommutativ, so muss   sein, das heißt, es gibt eine eindeutige Faktorisierung  , wobei   die Abbildung   mit auf   eingeschränkter Zielmenge sei. Streng genommen müsste man auch die Faktorisierung des Pfeils nach   zeigen, aber da es von jeder Menge nur eine einzige Abbildung nach   geben kann (man sagt dazu auch,   sei ein terminales Objekt), ist das automatisch erfüllt. Ferner kann man sich leicht überlegen, dass   die einzige Abbildung   ist, die das erstgenannte Diagramm zu einem Pullback macht. Dies ist letztlich nichts anderes als die übliche Identifizierung einer Teilmenge mit der zugehörigen charakteristischen Funktion. Diese Betrachtungen motivieren folgende Definition:

Definition

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Es sei   eine Kategorie mit einem terminalen Objekt  . Ein Unterobjekt-Klassifizierer ist ein Monomorphismus   in  , so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem Monomorphismus   in   gibt es genau einen Morphismus  , so dass

 

ein Pullback ist.[1]

Beispiele

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  • Nach obigen Ausführungen ist   ein Unterobjekt-Klassifizierer in der Kategorie der Mengen.
  • Es sei   ein Monoid und   die Kategorie der M-Räume. Ein „Rechtsideal“ in   ist eine Teilmenge  , so dass   für alle  . Die leere Menge und   sind stets Rechtsideale. Die Menge   aller Rechtsideale von   wird durch die Operation
 
zu einem  -Raum. Der einelementige Raum   mit der trivialen (und einzig möglichen) Operation von   ist ein terminales Objekt in   und
 
ist ein Unterobjekt-Klassifizierer in  . Ist   ein  -Monomorphismus, so leistet
 
das Verlangte.[2]
  • Eine beliebige kleine Kategorie   lässt sich bekanntlich mittels der Yoneda-Einbettung in die Kategorie der Prägarben auf  , das heißt in die Funktorkategorie   volltreu einbetten. Auch wenn   selbst keinen Unterobjekt-Klassifizierer hat, so gibt es stets einen in  .
Da   ein terminales Objekt in   ist, prüft man leicht, dass der mit   bezeichnete Funktor  , der jedes Objekt auf 1 und alle Morphismen auf   abbildet, ein terminales Objekt in   ist.
Wir definieren nun ein Objekt   in  , das heißt einen Funktor   durch
  = Menge aller Siebe auf  
und für einen Morphismus  
 
Bezeichnet   das maximale Sieb auf  , also die Menge aller Morphismen mit Ziel  , so ist
 
ein Unterobjekt-Klassifizierer in  .[2][3]
  • Viele weitere Kategorien sind äquivalent zu einer Prägarben-Kategorie des vorangegangenen Beispiels und viele darin enthaltene Teilkategorien, insbesondere Kategorien von Garben, haben Unterobjekt-Klassifizierer. Die Existenz eines Unterobjekt-Klassifizierers ist integraler Bestandteil der Definition eines Topos.
  • Die Kategorie   der abelschen Gruppen hat keinen Unterobjekt-Klassifizierer. Allgemeiner hat die Kategorie der Links-R-Moduln über einem beliebigen Ring   keinen Unterobjekt-Klassifizierer.

Darstellung des Unterobjektfunktors

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Unterobjekte in einer Kategorie   sind Äquivalenzklassen (Isomorphieklassen) von Monomorphismen  . Wir wollen von   voraussetzen, dass die Gesamtheit der Unterobjekte eines Objektes   eine Menge bildet, die wir mit   bezeichnen. Ferner wollen wir voraussetzen, dass   endliche Limiten, also insbesondere Pullbacks besitzt. Ist   ein Morphismus in  , so gibt es zu jedem Unterobjekt von  , das etwa durch einen Monomorphismus   repräsentiert werde, ein Pullback

 

und man erhält mittels der Zuordnung   eine wohldefinierte Abbildung  , die man mit   bezeichnet. Auf diese Weise erhält man den sogenannten Unterobjektfunktor  . Unter den genannten Voraussetzungen an   gilt nun, dass es genau dann einen Unterobjekt-Klassifizierer gibt, wenn der Unterobjektfunktor darstellbar ist, genauer, wenn es ein Objekt   in   gibt und in   natürliche Isomorphismen

 .[4]

Einzelnachweise

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  1. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Definition in Kap. I.3
  2. a b Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. I.4
  3. Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant, A Topos Theory Compendium. Volume 1. Clarendon Press, Oxford 2002, ISBN 978-0-19-853425-9, Lemma A.1.6.6
  4. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Satz 1 in Kap. I.3