Darstellbarkeit (Kategorientheorie)

Darstellbarkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt den Umstand, dass es für gewisse Konstruktionen "klassifizierende Objekte" gibt.

DefinitionBearbeiten

Ein kontravarianter Funktor   von einer Kategorie   in die Kategorie der Mengen heißt darstellbar, wenn es ein Paar   bestehend aus einem Objekt von   und einem Element   gibt, so dass

 

für alle Objekte   von   bijektiv ist. Man schreibt dann auch einfach

 

Ein kovarianter Funktor   heißt darstellbar, wenn es ein analoges Paar   gibt, so dass

 

bijektiv ist.

Weitere Bezeichnungen:

  • Für ein Element von   heißt der entsprechende Morphismus   auch klassifizierender Morphismus.
  •   heißt darstellendes Objekt, auch wenn durch   selbst die natürliche Äquivalenz
  bzw.  
noch nicht festgelegt ist.
  •   wird oft universell genannt, weil jedes Element von   für irgendein Objekt   Bild von   unter   mit einem geeigneten Morphismus
 
ist. (Analoges gilt im Fall kovarianter Funktoren.)

EigenschaftenBearbeiten

  • Wird ein kontravarianter Funktor   wie oben einerseits durch  , andererseits aber auch durch   dargestellt, so gibt es genau einen Isomorphismus  , für den   gilt. Er ist der klassifizierende Morphismus von   bezüglich  .
  • Darstellbare Funktoren sind linksexakt, d. h.
  bzw.  .

BeispieleBearbeiten

  • Die Bildung der Potenzmenge   einer Menge   kann als kontravarianter Funktor   betrachtet werden: für eine Abbildung   von Mengen sei die induzierte Abbildung   das Urbild von Teilmengen:  .
Dieser Funktor wird durch das Paar   dargestellt, denn ist   ein Objekt, das heißt eine Menge, so ist   bijektiv. Die klassifizierende Abbildung einer Teilmenge   ist also die charakteristische Funktion   von  , denn  .
  • Die folgenden Vergissfunktoren sind darstellbar:
von nach dargestellt durch
Abelsche Gruppen Mengen  
Vektorräume über einem Körper   Mengen  
unitäre Ringe Mengen  
Topologische Räume Mengen   (ein einpunktiger Raum)
 
  • Die erste Kohomologiegruppe   mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen ist ein kontravarianter Funktor, der durch die 1-Sphäre   zusammen mit einem der beiden Erzeuger von
 
dargestellt wird. Allgemein gibt es darstellende Räume   für die Funktoren   für beliebige abelsche Gruppen   und natürliche Zahlen  . Sie heißen Eilenberg-MacLane-Räume.

Siehe auchBearbeiten

Oben vorgestellte Abbildungen der Form   kommen auch beim Yoneda-Lemma vor.