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Die Indikatorfunktion (auch charakteristische Funktion genannt) ist eine Funktion in der Mathematik, die sich dadurch auszeichnet, dass sie nur ein oder zwei Funktionswerte annimmt. Sie ermöglicht es, komplizierte Mengen mathematisch präzise zu fassen und auf ihnen Funktionen wie zum Beispiel die Dirichlet-Funktion zu definieren.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
zweidimensionale Indikatorfunktion einer Untermenge eines Quadrates

In der Literatur finden sich mehrere Schreibweisen für die charakteristische Funktion. Neben der hier verwendeten mittels   sind ebenfalls die Schreibweisen   und   gebräuchlich.[1]

Reellwertige charakteristische FunktionBearbeiten

Gegeben sei eine Grundmenge   und eine Teilmenge  . Die Funktion   definiert durch

 

heißt dann die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge  . Die Zuordnung   liefert eine Bijektion zwischen der Potenzmenge   und der Menge aller Funktionen von   in die Menge  

Erweiterte charakteristische FunktionBearbeiten

In der Optimierung wird die charakteristische Funktion teils als erweiterte Funktion definiert. Hier heißt dann die Funktion   definiert durch

 

die charakteristische Funktion oder Indikatorfunktion der Menge  . Sie ist eine echte Funktion, wenn   nicht leer ist.

Partielle charakteristische FunktionBearbeiten

Bei der Bildung der partiellen charakteristischen Funktion wird die Definitionsmenge auf   eingeschränkt; im Sinne von partiellen Funktionen kann man sie also wie folgt beschreiben:

 

Verwendung der unterschiedlichen DefinitionenBearbeiten

Die reellwertige charakteristische Funktion wird häufig in der Integrationstheorie und in der Stochastik verwendet, da sie es ermöglicht, Integrale der Funktion   über die Menge   durch Integrale von   über die Grundmenge zu ersetzen:

 .

Dadurch lassen sich zum Beispiel oft Fallunterscheidungen vermeiden.

Die erweiterte charakteristische Funktion wird in der Optimierung verwendet, um Funktion auf Teilbereiche einzuschränken, auf denen sie gewisse gewünschte Eigenschaften wie z. B. Konvexität besitzen, oder um Restriktionsmengen zu modellieren.

Die partielle charakteristische Funktion findet Verwendung in der Berechenbarkeitstheorie.

Eigenschaften und Rechenregeln der reellwertigen charakteristischen FunktionBearbeiten

  • Die Menge   ist durch ihre charakteristische Funktion eindeutig bestimmt. Es gilt
 .
Für   folgt also aus der Gleichheit   die Gleichheit   der Mengen.
  • Die charakteristische Funktion   der leeren Menge ist die Nullfunktion. Die charakteristische Funktion   der Grundmenge ist die konstante Funktion mit dem Wert 1.
  • Es seien Mengen   gegeben. Dann gilt für die Schnittmenge
 
und für die Vereinigungsmenge
 .
Für die Differenzmenge ist
 .
Insbesondere gilt für das Komplement  
 .

Verwendung zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und KovarianzBearbeiten

Für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum   und ein Ereignis   ist die Indikatorfunktion   eine bernoulliverteilte Zufallsvariable. Insbesondere gilt für den Erwartungswert

 

und für die Varianz

 .

Die Varianz von   nimmt also ihren maximalen Wert   im Fall   an.

Ist zusätzlich  , dann gilt für die Kovarianz

 .

Zwei Indikatorvariablen sind also genau dann unkorreliert, wenn die zugehörigen Ereignisse stochastisch unabhängig sind.

Sind   beliebige Ereignisse, dann gibt die Zufallsvariable

 

die Anzahl derjenigen Ereignisse an, die eingetreten sind. Wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt dann

 .

Diese Formel gilt auch dann, wenn die Ereignisse abhängig sind. Sind sie zusätzlich paarweise unabhängig, dann gilt nach der Gleichung von Bienaymé für die Varianz

 .

Im allgemeinen Fall kann die Varianz über die Formel

 

bestimmt werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Die Bezeichnung   wird aber auch für die Identitätsrelation bzw. -abbildung verwendet und kann daher leicht zu Verwechselungen führen.