Topos (Mathematik)

Topos (pl. Topoi, griech. Ort) ist ein Begriff der Kategorientheorie, der in zwei engverwandten Ausprägungen vorkommt, nämlich

  • als Elementartopos, der eine verallgemeinerte Kategorie aller Mengen ist, mit dem Ziel einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik.
  • als Grothendieck-Topos, der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet.

ElementartoposBearbeiten

MotivationBearbeiten

Die Idee eines Elementartopos geht ursprünglich auf William Lawvere zurück, welcher sich 1963 zum Ziel setzte, die Mathematik auf ein rein kategorientheoretisches Fundament zu stellen (anstatt der bis heute üblichen Mengenlehre). In Zusammenarbeit mit Myles Tierney formulierte er gegen Ende der 1960er Jahre schließlich die Axiome für einen Elementartopos. Dieses ist, vereinfacht gesagt, eine Art Universum (informell gesprochen), in dem es möglich ist, Mathematik zu betreiben. Ein Elementartopos enthält genügend Struktur, um darin einen abstrakten Mengenbegriff zu definieren und damit Mathematik und Logik zu betreiben. Insbesondere besitzt ein Elementartopos eine sogenannte interne Logik, welche nicht unbedingt klassisch sein muss.

DefinitionBearbeiten

Ein Elementartopos ist eine Kategorie   mit

  • (a) einem Pullback für jedes Diagramm  ;
  • (b) einem terminalen Objekt  ;
  • (c) einem Objekt  , genannt der Unterobjekt-Klassifizierer (wörtlich von engl. subobject classifier) und einem Monomorphismus  , sodass für jeden Monomorphismus   ein eindeutiger Pfeil   (genannt der Charakter von  ) existiert, sodass folgendes Diagramm ein Pullback ist:
wobei hier   den eindeutigen Pfeil von   ins Terminalobjekt   bezeichne;
  • (d) einem Exponential   mit zugehörigem Evaluations-Pfeil   für je zwei Objekte  , mit der universellen Eigenschaft, dass für jedes Objekt   und jeden Pfeil   genau ein Pfeil   existiert, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
wobei   den Identitätspfeil von   bezeichne.

Die Eigenschaften (a) und (b) lassen sich kurz zusammenfassen, indem man sagt   sei endlich vollständig (d. h. alle endlichen Limites existieren). Die Eigenschaften (c) und (d) scheinen im ersten Moment extrem künstlich und abstrakt zu sein, sind jedoch beide durch die Kategorie   aller Mengen motiviert. Kürzer schreibt man oft für (d), dass der Funktor   für alle   einen Rechtsadjungierten (meist mit   bezeichnet) besitzt.

Die ursprüngliche Definition eines Elementartopos enthielt auch die Forderung, dass dieser endlich ko-vollständig sein soll (d. h., dass alle endlichen Kolimites existieren). Diese Forderung folgt jedoch, nach einem nicht-trivialen Resultat von Mikkelsen.[1]

Elementartopos als Abstraktion der Kategorie aller MengenBearbeiten

Wie schon gesagt, sollte mit Hilfe der Topostheorie ein kategorientheoretisches Fundament für die Mathematik gelegt werden. Dies bedeutet insbesondere, dass die Kategorie   aller Mengen dadurch beschrieben werden muss. Entsprechend ist dies wohl auch das wichtigste Beispiel, was die Motivation der verschiedenen Konzepte der Topostheorie angeht. In   ist   schlicht die Menge aller Abbildungen von   nach   und entsprechend  . Weiter ist   (man beachte, dass hier   als finite Ordinalzahl zu verstehen ist),   und   die übliche charakteristische Funktion von   als Teilmenge von  .

Die Eigenschaft, dass   nur zwei Elemente enthält bedeutet, dass es sich bei   um einen sogenannten booleschen Topos handelt und dieser ist elementar für die klassische Mathematik (klassisch im Sinne von nicht-intuitionistisch).

Um   abstrakt gegenüber allgemeinen Elementartopoi auszuzeichnen, werden gewöhnlich die folgenden Axiome verwendet.[2]

  • Es gibt ein Anfangsobjekt   (Nichttrivialität).
  • Sind   Pfeile, so ist   oder es existiert ein   mit   (Wohlpunktiertheit).
  • Es gibt ein Objekt natürlicher Zahlen, d. h. ein Objekt   zusammen mit Pfeilen
 
sodass für jedes Objekt   mit Pfeilen   ein eindeutig bestimmter Pfeil   existiert mit   und  .
  • Für jeden Epimorphismus   existiert ein Pfeil   mit   (Auswahlaxiom).

Grothendieck-ToposBearbeiten

Ein Grothendieck-Topos ist definiert als eine Kategorie, die äquivalent ist zur Kategorie der Garben (von Mengen) auf einem Situs. Nach einem Satz von Jean Giraud ist eine Kategorie   genau dann ein Grothendieck-Topos, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  • (a) In   existieren endliche projektive Limites.
  • (b) In   existieren beliebige Koprodukte, und sie sind universell disjunkt.
Ein Koprodukt   heißt disjunkt, wenn die Strukturmorphismen   Monomorphismen sind und   für   ein Anfangsobjekt ist. Das Koprodukt heißt universell disjunkt, wenn es unter jedem Basiswechsel   disjunkt bleibt, das heißt, wenn   disjunkt ist.
  • (c) Äquivalenzrelationen in   sind universell effektiv.
Dabei ist eine Äquivalenzrelation ein Paar   von Morphismen, so dass für jedes Objekt   die induzierte Abbildung   eine Bijektion auf den Graphen einer Äquivalenzrelation auf   ist. Dabei ist  .
  • (d)   besitzt eine erzeugende Familie von Objekten.
Dabei heißt eine Familie   von Objekten erzeugend, wenn ein Morphismus  , für den alle induzierten Abbildungen   Bijektionen sind, ein Isomorphismus ist.

Es sei angemerkt, dass jeder Grothendieck-Topos immer auch ein Elementartopos ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Robert Paré: Colimits in topoi. In: Bull. Amer. Math. Soc., 80, 1974, S. 556–561.
  2. Colin McLarty: Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford University Press, 2005, ISBN 0-19-851473-5, S. 211,213.