Funktorkategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist eine Funktorkategorie eine Kategorie, deren Objekte Funktoren und deren Morphismen natürliche Transformationen zwischen diesen Funktoren sind.

EinführungBearbeiten

Sind   und   zwei Kategorien, so verhalten sich die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren   wie die Morphismen einer Kategorie. Zwei natürliche Transformationen   und   zwischen Funktoren   können zu einer natürlichen Transformation   verkettet werden, so dass für diese Verkettung das Assoziativgesetz gilt, und für jeden Funktor   gibt es die identische Transformation  , die sich bei dieser Verkettung wie ein neutrales Element verhält. Es liegt daher nahe, die Kategorie   aller Funktoren   mit den natürlichen Transformationen als Morphismen zu betrachten. Dem stehen allerdings mengentheoretische Hindernisse entgegen, denn ein Funktor als Abbildung zwischen Objekten und Morphismen der Quell- und Zielkategorie sind im Allgemeinen selbst keine Mengen, können also nicht Elemente einer Klasse sein. Das gleiche gilt für die natürlichen Transformationen   zwischen zwei Funktoren   und   und auch die „Mächtigkeit“ der natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren ist zu groß.

Hier gibt es prinzipiell zwei Auswege. Man kann die mengentheoretischen Probleme durch neue Begriffe umgehen, muss dann allerdings Vorsicht bei Formulierungen walten lassen, oder man beschränkt sich für   auf kleine Kategorien.

QuasikategorienBearbeiten

(Der nun folgende Begriff Quasikategorie wird in der Literatur nicht einheitlich so verwendet, manche Autoren verstehen unter diesem Begriff auch Unendlich-Kategorien, die nichts mit der hier vorgestellten Definition zu tun haben.)

Man nennt Familien von Klassen Konglomerate und sagt, eine Quasikategorie bestehe aus Konglomeraten   und  , deren „Elemente“ man Objekte bzw. Morphismen nennt, und Funktionen  , die jedem Morphismus seinen Quell- bzw. Zielbereich zuordnen, sowie einer Abbildung

 , so dass
(1): Für   gilt   und  
(2): Für   gilt  
(3): Für jedes   existiert ein  , so dass   und
(a):   für alle   mit  ,
(b):   für alle   mit  .[1]

Damit lässt sich die Quasikategorie aller Funktoren mit den natürlichen Transformationen als Morphismen bilden[2], darin enthalten ist die Unterquasikategorie aller Funktoren zwischen zwei vorgegebenen Kategorien wie oben. Offenbar sind Kategorien auch Quasikategorien, so dass hier eine echte Verallgemeinerung vorliegt.

Mit der Verwendung des Namens „Konglomerat“ sind die mengentheoretischen Hindernisse natürlich nicht aus dem Weg geräumt. Aussagen über Quasikategorien muss man stets übersetzen in „für alle Klassen mit einer gewissen Eigenschaft gilt ...“.

Funktorkategorien kleiner KategorienBearbeiten

Ist in der Einführung   eine kleine Kategorie, so bestehen die mengentheoretischen Probleme nicht und   ist eine echte Kategorie.[3]

Ein einfaches Beispiel ist die Kategorie   mit zwei Objekten, etwa   und  , und einem einzigen von den Identitäten verschiedenen Morphismus  . Dann ist   nichts anderes als die Pfeilkategorie von  .[4]

Kategorien von PrägarbenBearbeiten

Eine sehr wichtige Anwendung ist die Kategorie der Prägarben auf einer kleinen Kategorie  . Hierbei ist   die Kategorie der Mengen und man setzt

 .

Dies ist die Funktorkategorie der Funktoren   der zu   dualen Kategorie in die Kategorie der Mengen. Solche Funktoren nennt man Prägarben auf  . Die Hom-Funktoren   sind Beispiele und die Zuordnung   nennt man die Yoneda-Einbettung von   in  .[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 11.3
  2. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 13.8
  3. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag (2016), ISBN 978-3-662-53520-2, Definition 3.5.5
  4. Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie, Springer-Verlag (2016), ISBN 978-3-662-53520-2, Beispiel 3.5.6
  5. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag (1992), ISBN 978-0-387-97710-2, Kap. I: Categories of Functors