Faserprodukt

Begriff aus der Kategorientheorie
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Das Faserprodukt (auch Pullback, kartesisches Quadrat oder Pullback-Quadrat) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zentrale Bedeutung kommt dem Faserprodukt in der algebraischen Geometrie zu.

Der Begriff des Faserproduktes ist dual zum Begriff des Pushout.

Faserprodukt von Mengen

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Sind   und   zwei Abbildungen von Mengen, so ist das Faserprodukt von   und   über   die Teilmenge

 

des kartesischen Produktes von   und  .

Faserprodukte in beliebigen Kategorien

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Definition über Objekte

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Sind Morphismen   und   in einer Kategorie gegeben, so heißt ein Objekt   zusammen mit Morphismen

  und  

den sogenannten kanonischen Projektionen, ein Faserprodukt von   und   über  , wenn   und die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

Zu jedem Paar von Morphismen   von einem Testobjekt   nach   bzw.  , für das
  (als Morphismen  )
gilt, gibt es genau einen Morphismus
 
so dass
  und  
gilt.

Anders formuliert: die Funktoren

  und  

sind via   und   natürlich äquivalent.

Definition über Morphismen

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Bei einer allgemeineren Herangehensweise werden derartige Paare von Morphismen   und   von einem Objekt   nach   bzw.   als Faserprodukt, Pullback, kartesisches oder Pullback-Quadrat bezeichnet, für die gilt:

  1.   (als Morphismen  )
  2. jedes weitere Paar von Morphismen   und   von einem Objekt   nach   bzw.  , für die   gilt, ist über einen eindeutig bestimmten Morphismus   mit dem ersten Paar von Morphismen vertauschbar, d. h.   und  

Die Morphismen von Pullbacks bilden ein kommutatives Diagramm:

 

Dieses Diagramm stellt einen Kegel über dem Diagramm   dar, bei dem der „mittlere“ Pfeil (der zwischen   und  ) weggelassen wurde. Die zweite Bedingung drückt aus, dass das Pullback ein Limes aller solchen Kegel ist. Man sagt,   entstehe durch Zurückziehen (engl. pull back) von   entlang   und   entstehe durch Zurückziehen von   entlang   [1][2][3]

 

Pullback-Kegel

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Gelegentlich werden auch derartige Paare von Morphismen ( ) von einem Objekt   nach   bzw.  , für die lediglich

  (als Morphismen  )

gilt, als Pullback-Kegel bezeichnet; Morphismen von Pullback-Kegeln sind über entsprechende kommutative Diagramme definiert. Das Faserprodukt ist dann ein Endobjekt der Kategorie der möglichen Pullback-Kegel über dem Diagramm  [4][5]

Eindeutigkeit

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Die Komponenten   und   des Faserproduktes aus der Definition über Morphismen müssen nicht eindeutig bestimmt sein, sind aber eindeutig bis auf Isomorphie. D. h., ist   zusammen mit Abbildungen   und   ein weiteres derartiges Faserprodukt, so sind   und   isomorph und   und   eindeutig durch   und   bestimmt. Für ein und dasselbe Objekt   kann es ebenfalls verschiedene Möglichkeiten für die Morphismen   und   geben. Die verschiedenen Varianten sind dann aber wiederum durch einen Isomorphismus (von   auf sich selbst) eindeutig durch einander bestimmt.

Auch   aus der Definition über Objekte ist im Allgemeinen nur ein Symbol für mehrere mögliche, jeweils zueinander isomorphe Objekte. Es wird jedoch gewöhnlich eine Standarddarstellung für   angegeben; z. B. in der Kategorie der Mengen die Menge:

 [1]

Bezeichnung

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Die Bezeichnungen werden nicht ganz einheitlich verwendet. Gemeinhin wird in mathematischen Texten mit Faserprodukt eher das sich ergebende Objekt der Produktbildung bezeichnet, während mit Pullback das sich ergebende Paar von Abbildungen bezeichnet wird. Hinzu kommt noch die verallgemeinerte Bezeichnung des Faserproduktes als Produkt über …. Mit kartesisches oder Pullback-Quadrat wird dann auch eher die Gesamtkonstruktion oder das Pullback-Diagramm bezeichnet. Letztlich werden die Bezeichnungen jedoch synonym gedeutet und werden nur unterschiedlich eingesetzt, um jeweils einen bestimmten Aspekt des Faserproduktes ins Zentrum der Betrachtung zu rücken.[6][7][8]

Eigenschaften

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  • Ist   ein beliebiger Morphismus, so ist
 .
  • Sind   und   injektive Mengenabbildungen (allgemein Monomorphismen), so ist das Faserprodukt der Schnitt (der Bilder) von   und  
  • Ist   eine einelementige Menge, so ist das Faserprodukt isomorph zum kartesischen Produkt. Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist dann identisch mit dem kartesischen Produkt. Ist allgemein   ein Endobjekt, so ist das Faserprodukt isomorph zum allgemeinen kategoriellen Produkt.
  • Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist eine Untermenge des kartesischen Produktes. Allgemein gibt es stets einen Monomorphismus vom Faserprodukt in das allgemeine kategorielle Produkt
 
(falls beide Konstruktionen existieren).

Beispiele

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  • Das Faserprodukt ist ein spezieller Limes. Aufgrund der Stetigkeit des jeweiligen Vergissfunktors ist in den folgenden Kategorien – deren Objekten stets Mengen zugrunde liegen – die zugrunde liegende Menge des Faserproduktes (in dieser Kategorie) gleich dem Faserprodukt (in der Kategorie der Mengen) der zugrunde liegenden Mengen:
Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe, Moduln, Vektorräume, topologische Räume, Banachräume.

Faserprodukte in der algebraischen Geometrie

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Die obige kategorielle Definition wird insbesondere in der algebraischen Geometrie benutzt, um das Faserprodukt   zweier Schemata mit gegebenen Morphismen   zu definieren.

Wenn   und   affine Schemata sind, dann ist auch   ein affines Schema.[9] Aus   folgt nämlich

 .[10]

Dies gibt eine explizite Beschreibung (und beweist insbesondere die Existenz) des Faserprodukts affiner Schemata.

Eine explizite Beschreibung für Faserprodukte beliebiger Schemata erhält man wie folgt. Sei   eine Überdeckung durch affine Schemata, und für alle   seien

 

jeweils Überdeckungen durch affine Schemata, dann ist

 

eine Überdeckung durch affine Schemata, insbesondere ist damit   als Schema definiert.[11]

Für einen Punkt   eines Schemas bezeichne jeweils   den zugehörigen lokalen Ring. Die Punkte des Faserprodukts   entsprechen dann bijektiv den Tupeln   mit   und einem Primideal  .[12]

Einzelnachweise

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  1. a b R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.13, S. 63 (englisch, Beschreibung von Pullbacks.).
  2. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.11, S. 58 (englisch, Beschreibung von Limites und Co-Limites.).
  3. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8, Def. 3.34, S. 60 (Definition von Pullbacks.).
  4. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.6, S. 44 (englisch, Definition von Endobjekten.).
  5. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8, Def. 1.25, S. 19 (Definition von Endobjekten.).
  6. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7 (englisch).
  7. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8.
  8. Saunders Mac Lane: Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1972, ISBN 3-540-05634-3 (amerikanisches Englisch: Categories. For the Working Mathematician. Übersetzt von Klaus Schürger).
  9. The Stacks Project Lemma 25.17.3
  10. The Stacks Project Lemma 25.6.7
  11. The Stacks Project Lemma 25.17.4
  12. The Stacks Project Lemma 25.17.5