Monoid-Objekt

Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition

Es sei ${\mathcal {C}}$ eine monoidale Kategorie mit dem Funktor ${-}\otimes {-}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$, dem Einheitsobjekt $I\in |{\mathcal {C}}|$, der natürlichen Transformation $\alpha$ mit den Komponenten $\alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$, sowie den natürlichen Transformationen $\lambda \colon (I\otimes {-})\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}$ und $\rho \colon ({-}\otimes I)\to \mathrm {Id} _{\mathcal {C}}$ gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt $M\in |{\mathcal {C}}|$ zusammen mit zwei Pfeilen $\eta \colon I\to M$ und $\mu \colon M\otimes M\to M$, für die die Gleichungen

• $\mu \circ (\mu \otimes M)=\mu \circ (M\otimes \mu )\circ \alpha _{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M\to M$,
• $\mu \circ (M\otimes \eta )=\rho _{M}\ \colon M\otimes I\to M$ und
• $\mu \circ (\eta \otimes M)=\lambda _{M}\ \colon I\otimes M\to M$

gelten.

Beispiele

• Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
• Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
• In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
• Ist ${\mathcal {C}}$ eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie ${\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}$ mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in ${\mathcal {C}}^{\mathcal {C}}$ sind Monaden.

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170 f.