Lemma von Yoneda

Satz in der Kategorientheorie

Das Lemma von Yoneda, nach Nobuo Yoneda, ist eine mathematische Aussage aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es beschreibt die Menge der natürlichen Transformationen zwischen einem Hom-Funktor und einem weiteren Funktor.

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen.

Motivation

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Es sei   die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei   eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten   die Morphismen zwischen   und   eine Menge und somit ein Objekt in   bilden. Für jedes Objekt   der Kategorie   hat man den partiellen Hom-Funktor  , der für Objekte   und Morphismen   wie folgt definiert ist:

  •  , wobei   eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für   ist.
  •  .

Sei nun   ein weiterer Funktor von   nach  . Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren   und   bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Sind   ein Funktor und   ein Objekt aus  , so ist   eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen   in die Menge  .

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation   definitionsgemäß jedem Objekt   aus   einen Morphismus   zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus   in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich   wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus  . Daher ist die Abbildung   wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist   eine natürliche Transformation,   ein Objekt aus   und  , das heißt   ist ein  -Morphismus  , so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

 

Daraus ergibt sich  .

Daher ist   durch   und   bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich  , so definiere man für jedes Objekt   aus   die Abbildung   durch  . Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation   von   nach   definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf   abgebildet wird.

Bemerkungen

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  • Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren   und   eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen   und   steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich  , und ist daher selbst eine.
  • Abbildungen der oben vorgestellten Art   führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
  • Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor   hinterzuschalten.

Yoneda-Einbettung

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Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist   eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne   die Kategorie der Funktoren   mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren   und   nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit   die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor   durch folgende Daten:

  •  , die Funktoren   sind die Objekte in  .
  • Für einen Morphismus   sei   definiert durch  , wobei  . Dann ist   eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in  .

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor   definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst   „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

  • Yoneda-Einbettung: Der Funktor   ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von   und  , so erhält man eine volltreue Einbettung  .

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

 

bijektiv sind. Für  , das heißt für eine natürliche Transformation  , ist  , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

 .

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle   folgendes gilt:  ,

ist   und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist   volltreu.

Um einzusehen, dass   sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind   und   zwei verschiedene Objekte aus  , so gilt  , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt  , das heißt  . Daher ist   auch eine Einbettung.

Literatur

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  • Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).