Generator und Kogenerator sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um Objekte einer Kategorie, die zu beliebigen Objekten der Kategorie in einer bestimmten Beziehung stehen. Statt Generator und Kogenerator findet man auch die Bezeichnungen Separator und Koseparator.[1]

Definitionen

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Eine Menge   von Objekten einer Kategorie   heißt eine Menge von Generatoren für  , wenn es zu je zwei verschiedenen Morphismen   ein   und einen Morphismus   gibt mit  .

Ein Objekt   aus   heißt ein Generator für  , falls die einelementige Menge   ein Generator für   ist.[2]

Dual dazu ist der Begriff des Kogenerators:

Eine Menge   von Objekten einer Kategorie   heißt eine Menge von Kogeneratoren für  , wenn es zu je zwei verschiedenen Morphismen   ein   und einen Morphismus   gibt mit  .

Ein Objekt   aus   heißt ein Kogenerator für  , falls die einelementige Menge   ein Kogenerator für   ist.[3]

Beispiele

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  • In der Kategorie   der Mengen ist jede nicht-leere Menge   ein Generator, denn sind   verschiedene Abbildungen, etwa  , so leistet die Abbildung  , die konstant gleich   ist, das Verlangte.
Jede Menge   mit mindestens zwei Elementen ist ein Kogenerator in  , denn sind   verschiedene Abbildungen, etwa  , so leistet jede Abbildung  , die   und   auf verschiedene Elemente in   abbildet, das Verlangte.
  • In der Kategorie   der topologischen Räume ist jeder nicht-leere diskrete Raum ein Generator und jeder Raum, der einen mindestens zweielementigen Unterraum mit der trivialen Teilraumtopologie enthält, ist ein Kogenerator.
  • In der Kategorie der vollständig regulären Räume oder in der Kategorie der kompakten Hausdorffräume ist das Einheitsintervall   ein Kogenerator.[4]
  • In der Kategorie   der Moduln über einem Ring   ist der als Modul aufgefasste Ring   ein Generator.
  • Die Kategorie Ringe mit Einselement besitzt keine Kogeneratoren. (Wäre nämlich   ein Kogenerator, so müsste es zu zwei verschiedenen Körpermorphismen   einen Morphismus   geben mit  . Aber Morphismen   auf Körpern sind stets die Nullfunktion oder injektiv, weshalb es für Körper mit einer Mächtigkeit größer als der Mächtigkeit von   keine solchen   geben kann.)[5]

Eigenschaften

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Hom-Funktoren

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Eine einfache Umformulierung, die von manchen Autoren als Definition verwendet wird, lautet:

Ein Objekt   aus   ist genau dann ein Generator für  , wenn der Hom-Funktor   treu ist.

Dual dazu gilt

Ein Objekt   aus   ist genau dann ein Kogenerator für  , wenn der Hom-Funktor   treu ist.

Produkte und Koprodukte

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Folgende Eigenschaften zeigen, wie Generatoren und Kogeneratoren zu beliebigen Objekten der Kategorie in Beziehung gesetzt werden können:

Ein Objekt   einer Kategorie  , die beliebige Koprodukte besitzt, ist genau dann ein Generator für  , wenn es zu jedem Objekt   aus   eine Menge   und einen Epimorphismus   des  -fachen Koproduktes von   nach   gibt.[6]

Dual dazu gilt:

Ein Objekt   einer Kategorie  , die beliebige Produkte besitzt, ist genau dann ein Kogenerator für  , wenn es zu jedem Objekt   aus   eine Menge   und einen Monomorphismus   von   in das  -fache Produkt von   gibt.[7]

Einzelnachweise

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  1. H. Herrlich, G. E. Strecker: Category Theory, Ally and Bacon Inc. 1973, Definition 12.18
  2. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, Springer Verlag 1969, ISBN 978-3-519-02210-7, Kap. 2.10 Generatoren und Kogeneratoren
  3. H. Schubert: Kategorien I, Springer-Verlag 1970, ISBN 978-3-540-04865-7, Definition 10.5.1°
  4. H. Herrlich, G. E. Strecker: Category Theory, Ally and Bacon Inc. 1973, Beispiele 12.21 (12)
  5. H. Herrlich, G. E. Strecker: Category Theory, Ally and Bacon Inc. 1973, Beispiele 12.21 (14)
  6. B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, Springer Verlag 1969, ISBN 978-3-519-02210-7, Kap. 2.10 Generatoren und Kogeneratoren, Lemma 2
  7. H. Herrlich, G. E. Strecker: Category Theory, Ally and Bacon Inc. 1973, Satz 19.6