Vollständig regulärer Raum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter einem vollständig regulären Raum einen topologischen Raum mit speziellen Trennungseigenschaften. Dabei handelt es sich um topologische Räume, die im unten präzisierten Sinne hinreichend viele stetige Funktionen besitzen, um zu einer reichhaltigen Theorie zu führen. Die Bedeutung dieses Begriffs wird durch eine Vielzahl äquivalenter Charakterisierungen deutlich.

DefinitionBearbeiten

 
Die Funktion f trennt den Punkt x von der Menge A.

Ein vollständig regulärer Raum ist ein topologischer Hausdorff-Raum  , in dem es zu jeder abgeschlossenen Menge   und jedem Punkt   eine stetige Funktion   gibt mit   und   für alle  .

Im Sinne dieser Definition besitzt ein vollständig regulärer Raum hinreichend viele stetige Funktionen, um abgeschlossene Mengen von außerhalb liegenden Punkten zu trennen. Zudem ist es keine Einschränkung vorauszusetzen, dass es sich hierbei um beschränkte Funktionen handelt. Ist nämlich   eine stetige Funktion, die   und   trennt, so ist es auch   mit  , definiert durch   für   sowie   für   und   für  .

Vollständig reguläre Räume werden nach dem russischen Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Tichonow auch Tichonow-Räume genannt oder auch T-Räume bzw. T3a-Räume, da die definierende Eigenschaft zwischen den Trennungsaxiomen T3 und T4 liegt. Es gibt Autoren, die in der Definition der vollständigen Regularität nicht die Hausdorff-Eigenschaft fordern und unter einem Tichonow-Raum einen hausdorffschen vollständig regulären Raum verstehen.

BeispieleBearbeiten

  • Normale Hausdorff-Räume sind vollständig regulär, wie leicht aus dem Lemma von Urysohn folgt. Insbesondere sind alle metrischen Räume vollständig regulär.
  • Der Niemytzki-Raum ist ein Beispiel eines vollständig regulären Raumes, der nicht normal ist.
  • Die Mysior-Ebene ist ein Beispiel für einen regulären Hausdorff-Raum, der nicht vollständig regulär ist.
  • Lokalkompakte Hausdorff-Räume sind vollständig regulär.
  • Hausdorffsche topologische Vektorräume sind vollständig regulär, die unendlich-dimensionalen unter ihnen sind nicht lokalkompakt.
  • Allgemeiner gilt, dass hausdorffsche topologische Gruppen vollständig regulär sind.
  • Noch allgemeiner sind alle hausdorffschen (je nach Definition), uniformen Räume Tichonow-Räume. Dies liefert im Gegensatz zu den anderen Beispielen sogar eine Charakterisierung (s. u.).

Permanenz-EigenschaftenBearbeiten

  • Unterräume vollständig regulärer Räume sind wieder vollständig regulär.
  • Beliebige Produkte vollständig regulärer Räume sind wieder vollständig regulär.

CharakterisierungenBearbeiten

Zu einem topologischen Raum betrachte man die Menge   aller stetigen Funktionen  . Definitionsgemäß ist für jeden topologischen Raum   die Initialtopologie bzgl.   gröber als die Ausgangstopologie auf X. Es gilt:

  • Ein Hausdorff-Raum ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie mit der Initialtopologie bzgl.   zusammenfällt.

Mittels der Stone-Čech-Kompaktifizierung zeigt man leicht:

Uniforme Räume induzieren eine Topologie auf der unterliegenden Menge, siehe Artikel uniformer Raum. Es gilt:

  • Ein Hausdorff-Raum X ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie durch eine uniforme Struktur induziert wird.

Die uniforme Struktur ist nicht eindeutig durch den vollständig regulären Raum festgelegt. Uniforme Räume sind vollständig reguläre Räume mit einer Zusatzstruktur, nämlich der uniformen Struktur. Die im Artikel uniformer Raum definierten Begriffe Vollständigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz hängen von der uniformen Struktur ab, sie lassen sich nicht rein topologisch im Kontext vollständig regulärer Räume behandeln.

Eine Topologie auf einer Menge   wird durch eine Familie   von Pseudometriken erzeugt, wenn die offenen Mengen genau diejenigen Mengen   sind, für die es zu jedem   endlich viele Pseudometriken   und ein   gibt mit  . Es gilt:

  • Ein topologischer Hausdorff-Raum ist genau dann vollständig regulär, wenn seine Topologie durch eine Familie von Pseudometriken erzeugt wird.

EigenschaftenBearbeiten

Vollständig reguläre Räume sind regulär. Daher hat jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen.

Ist X ein topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis, so sind äquivalent:

LiteraturBearbeiten