Vollständiger Hausdorff-Raum

topologischer Raum, in dem je zwei Punkte durch eine stetige Funktion getrennt sind

Vollständige Hausdorff-Räume sind in der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik solche topologische Räume, deren Punkte sich anhand ihrer Werte unter reellwertigen stetigen Funktionen unterscheiden lassen.

Definition

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Sei   ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte   und   durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion   existiert, so dass   und   gilt.

  ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte   und   immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass   vollständig   sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen  -wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Beziehungen zu den anderen Trennungsaxiomen

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Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome  ,   und  .

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Beispiele

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Die euklidische Topologie auf   definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf   die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form   mit einer in der Betragstopologie offenen Menge   und einer abzählbaren Menge   erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Beziehung zur Stone-Čech-Kompaktifizierung

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Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes   in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn   vollständig hausdorffsch ist.[1]

Einzelnachweise

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  1. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie générale. Ch. 1 à 4. Reimpression inchangée de l'edition originale de 1971. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33936-6, Kapitel 9, S. 10.