Mysior-Ebene

Die Mysior-Ebene ist ein auf den polnischen Mathematiker Adam Mysior zurückgehendes Beispiel eines topologischen Raums aus dem Jahre 1981.^[1] Es handelt sich um einen regulären Hausdorffraum, der nicht vollständig regulär ist, oder in Trennungsaxiomen ausgedrückt, um einen T₃-Raum, der nicht T_3a-Raum ist. Die Konstruktion ist deutlich einfacher als ältere Beispiele dieser Art.

Definition

Die Nullumgebungen in der Mysior-Ebene

Die Grundmenge des hier vorgestellten Raumes ist die obere Halbebene zusammen mit einem weiteren Punkt $P$ , den man etwa als $(0,-1)$ wählen kann.

X=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{(0,-1)\}

.

Die Topologie wird durch die Angabe von Umgebungsbasen definiert. Als Umgebungsbasis eines Punktes $(x,y)\in X$ betrachten wir:

im Falle $y>0$ die Menge $\{(x,y)\}$ , das heißt, diese Punkte sollen alle isoliert liegen.
im Falle $y=0$ die Menge der Mengen der Form $\{(x,0)\}\cup S$ , wobei $S$ in der Vereinigung der Strecken $I_{x}:=\{x\}\times [0,2)$ und $J_{x}:=\{(x+\xi ,\xi );0\leq \xi <2\}$ liegt und bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen auch alle Punkte aus $I_{x}\cup J_{x}$ enthält.
im Falle $y=-1$ die Menge der Mengen $U_{n}:=\{(\xi ,\eta );\xi >n,\eta \geq 0\}\cup \{(0,-1)\}$ , dieser Fall betrifft also nur den Punkt $P=(0,-1)$ .

Durch diese Umgebungsbasen wird eine Topologie $\tau$ auf $X$ definiert. Der topologische Raum $(X,\tau )$ heißt Mysior-Ebene.^[2]^[3]

Eigenschaften

Der Punkt $P=(0,-1)$ ist nicht isoliert, auch wenn obige Skizze diesen Eindruck erweckt, denn offenbar konvergiert $(n,0)\rightarrow P$ für $n\to \infty$ .

Die Mysior-Ebene $(X,\tau )$ ist ein T₃-Raum. Die Hausdorff-Eigenschaft, nach der je zwei Punkte disjunkte Umgebungen haben, liest man leicht aus den angegebenen Umgebungsbasen ab. Der Raum ist aber auch regulär, das heißt jeder Punkt besitzt eine Umgebungsbasis aus $\tau$ -abgeschlossenen Mengen. In den ersten beiden Fällen obiger Definition sind die angegebenen Mengen bereits abgeschlossen. Für die Umgebungsbasismengen $U_{n}$ von $P$ überlegt man sich ${\overline {U_{n+2}}}\subset U_{n}$ , so dass auch hier eine Umgebungsbasis aus abgeschlossenen Mengen existiert.

Die Mysior-Ebene ist kein T_3a-Raum. Die Menge $A:=(-\infty ,1]\times \{0\}\subset X$ ist $\tau$ -abgeschlossenen, $P\in X$ ist ein außerhalb dieser Menge gelegener Punkt, aber man kann zeigen, dass jede stetige Funktion, die $f(a)=0$ für alle $a\in A$ erfüllt, auch im Punkt $P$ gleich 0 ist. In diesem technischen Teil macht man von der Struktur der Umgebungsbasen der Punkte $(x,0)$ Gebrauch, mit der man Nullstellen von $f$ derart "nach rechts transportieren" kann, dass in jedem Intervall $[n,n+1]\times \{0\}$ unendlich viele Nullstellen liegen. Damit enthält jede Umgebung $U_{n}$ von $P$ Nullstellen von $f$ und aus der Stetigkeit von $f$ folgt $f(P)=0$ . Daher kann $(X,\tau )$ kein T_3a-Raum sein.

Einzelnachweise

↑ Adam Mysior: A Regular Space which is not Completely Regular. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 81, Nr. 4, 1981, S. 652–653, doi:10.1090/S0002-9939-1981-0601748-4.
↑ Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2, Beispiel (2.5,4).
↑ Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, Example III.2.

[1] Adam Mysior: A Regular Space which is not Completely Regular. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 81, Nr. 4, 1981, S. 652–653, doi:10.1090/S0002-9939-1981-0601748-4.

[2] Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2, Beispiel (2.5,4).

[3] Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North-Holland, Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, Example III.2.

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