Niemytzki-Raum

Der Niemytzki-Raum (nach Viktor Vladimirovich Nemytskii) ist ein im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersuchtes konkretes Beispiel eines topologischen Raumes. Auf der oberen Halbebene wird eine im Vergleich zur euklidischen Topologie feinere Topologie, die so genannte Niemytzki-Topologie, eingeführt. Dadurch entsteht ein topologischer Raum, der in vielen Situationen als Gegenbeispiel dient.

Der Niemytzki-Raum wird von manchen Autoren auch Niemytzki-Ebene oder Moore-Ebene (nach Robert Lee Moore) genannt.

DefinitionBearbeiten

 
Umgebungen im Niemytzki-Raum

Auf der oberen Halbebene   wird die Niemytzky-Topologie wie folgt durch die Angabe einer Umgebungsbasis der Punkte aus X erklärt: Ist   und  , so sei für  

 

Ist  , so sei

 

Im Falle   handelt es sich also um offene Kreise mit Radius   um  , die mit der oberen Halbebene geschnitten sind,   ist ein auf dem Punkt   aufgesetzter offener Kreis mit Radius   zusammen mit diesem Punkt.

Man definiert nun eine Menge   als offen in der Niemytzki-Topologie, wenn es zu jedem   ein   gibt mit  .   mit der Niemytzki-Topologie heißt Niemytzki-Raum.

Vergleich mit der euklidischen TopologieBearbeiten

 
  konvergiert gegen  ,   hat keinen Grenzwert.

Für einen Punkt   mit   stimmen die Umgebungsbasen bzgl. der euklidischen Topologie und der Niemytzki-Topologie überein.

Eine euklidische Umgebung eines Punktes   enthält einen hinreichend kleinen Halbkreis um diesen Punkt. In jedem solchen Halbkreis ist eine Niemytzki-Umgebung   enthalten, wenn man   klein genug wählt. Umgekehrt ist aber keine euklidische Umgebung in einer Niemytzki-Umgebung von   enthalten. Das zeigt, dass die Niemytzki-Topologie echt feiner als die euklidische Topologie ist.

Die durch   definierte Folge   konvergiert in beiden Topologien gegen  . Die durch   definierte Folge   konvergiert bzgl. der euklidischen Topologie gegen  , nicht jedoch bzgl. der Niemytzki-Topologie; in dieser hat die Folge   überhaupt keinen Grenzwert.

TeilräumeBearbeiten

Der Teilraum   trägt wegen   als Teilraumtopologie die diskrete Topologie.   ist eine abgeschlossene Menge bzgl. der Niemytzki-Topologie. Die Teilraumtopologie auf   stimmt mit der euklidischen Topologie überein.

Topologische EigenschaftenBearbeiten

Der Niemytzki-Raum hat eine Reihe topologischer Eigenschaften, die in vielen Situationen als Gegenbeispiele dienen.

LokalkompaktheitBearbeiten

Man kann zeigen, dass der Niemytzki-Raum nicht lokalkompakt ist. Dennoch ist   ein abgeschlossener Teilraum derart, dass   und   beide lokalkompakt sind.

TrennungsaxiomeBearbeiten

Der Niemytzki-Raum X ist vollständig regulär. Zur Trennung einer abgeschlossenen Menge von einem außerhalb gelegenen Punkt benötigt man neben den bzgl. der euklidischen Topologie stetigen Funktionen, die auch bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind, noch Funktionen der Art

 ,

mit   und  , die ebenfalls bzgl. der Niemytzki-Topologie stetig sind.

Man kann zeigen, dass   und   disjunkte, abgeschlossene Mengen sind, die nicht durch offene Mengen getrennt werden können, d. h., X ist nicht normal.

SeparabilitätBearbeiten

Der Niemytzki-Raum   ist separabel, in der Tat liegt   dicht in  . Während sich im Falle metrischer Räume Separabilität auf Teilräume vererbt, zeigt der nicht-separable Teilraum  , dass dies im Allgemeinen nicht gilt (die Sorgenfrey-Ebene ist ein weiteres Beispiel dieser Art).

AbzählbarkeitsaxiomBearbeiten

Der Niemytzki-Raum genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom, denn die Mengen  , bilden eine abzählbare Umgebungsbasis von  . Man kann zeigen, dass er nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Während aus der Separabilität und dem ersten Abzählbarkeitsaxiom im Falle metrischer Räume das zweite Abzählbarkeitsaxiom folgt, zeigt der Niemytzki-Raum also, dass dies im Allgemeinen falsch ist.

LiteraturBearbeiten