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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind getrennte Mengen Paare von Teilmengen eines gegebenen topologischen Raumes, die auf eine Art miteinander in Beziehung stehen. Ob zwei Mengen getrennt sind oder nicht, ist sowohl für den Begriff von zusammenhängenden Mengen als auch für die Trennungsaxiome für topologische Räume von Bedeutung.

DefinitionenBearbeiten

Es existieren verschiedene Versionen dieses Konzeptes. Die Begriffe sind nachfolgend definiert. Dabei sei X ein topologischer Raum.

Zwei Teilmengen   und   von   heißen disjunkt, falls deren Durchschnitt leer ist. Diese Eigenschaft hat nichts mit der Topologie zu tun, sondern ist ein Begriff der Mengenlehre. Wir erwähnen diese Eigenschaft hier, da sie die schwächste der hier betrachteten Trennungseigenschaften ist. Siehe dazu auch den Artikel zu disjunkten Mengen.

  und   heißen getrennt in  , falls beide Mengen disjunkt zum Abschluss der anderen Menge sind. Es wird aber nicht gefordert, dass die beiden Abschlüsse disjunkt sein sollen. So sind zum Beispiel die Intervalle   und   getrennt in  , obwohl   zum Abschluss beider Mengen gehört. Weiter sind getrennte Mengen immer disjunkt.

  und   sind durch Umgebungen getrennt, falls disjunkte Umgebungen   von   und   von   existieren. In gewissen Büchern werden offene Umgebungen   und   gefordert. Diese Definition ist aber zur Vorangehenden äquivalent. Zum Beispiel sind   und   durch Umgebungen getrennt, denn die   und   sind disjunkte Umgebungen von   bzw.  . Offensichtlich sind Mengen, die durch Umgebungen getrennt sind, auch getrennt.

  und   sind durch abgeschlossene Umgebungen getrennt, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen   von   und   von   existieren. Die Mengen   und   sind nicht durch abgeschlossene Umgebungen getrennt. Durch Hinzufügen von   erhalten wir zwar für beide Mengen abgeschlossene Obermengen, da aber   im Abschluss beider Mengen liegt, existieren keine disjunkten abgeschlossenen Umgebungen. Weiter sind durch abgeschlossene Umgebungen getrennte Mengen auch durch Umgebungen getrennt.

  und   heißen durch Funktionen getrennt, falls eine stetige Funktion   von   in die reellen Zahlen   existiert, so dass   und  . In der Literatur wird manchmal zusätzlich gefordert, dass   die Werte im Intervall   annimmt. Diese Definition ist aber zu obiger äquivalent. Die beiden Mengen   und   sind nicht durch Funktionen getrennt, denn es ist nicht möglich, die Funktion am Punkt   stetig zu wählen. Mengen, die durch Funktionen getrennt sind, sind auch durch abgeschlossene Umgebungen getrennt; als abgeschlossene Umgebungen können die Urbilder   und   für ein   gewählt werden. Welche Räume dies erfüllen, wird im Lemma von Urysohn deutlich.

  und  sind scharf durch eine Funktion getrennt, falls eine stetige Funktion   von   in die reellen Zahlen   existiert, so dass   und  . Auch hier kann zusätzlich gefordert werden, dass   sein Bild in   hat. Scharf durch Funktionen getrennte Mengen sind auch durch Funktionen getrennt. Da   und   abgeschlossene Teilmengen von   sind, können nur abgeschlossene Mengen scharf durch Funktionen getrennt sein. Doch aus der Tatsache, dass abgeschlossene Mengen durch Funktionen getrennt sind, kann nicht gefolgert werden, dass sie scharf durch Funktionen getrennt sind.

Beziehung zu den Trennungsaxiomen und separierten RäumenBearbeiten

Die Trennungsaxiome sind Bedingungen, die an topologische Räume gestellt werden und mit Hilfe der verschiedenen Typen von getrennten Mengen ausgedrückt werden können. So sind die separierten topologischen Räume genau diejenigen, welche das Trennungsaxiom T2 erfüllen. Genauer ist ein topologischer Raum genau dann separiert, wenn für zwei verschiedene Punkte x und y die einelementigen Mengen {x} und {y} durch Umgebungen getrennt sind. Solche Räume heißen auch Hausdorff-Räume oder T2 -Räume.

Beziehung zu zusammenhängenden RäumenBearbeiten

Manchmal ist es nützlich, für eine Teilmenge A eines topologischen Raumes zu wissen, ob sie vom eigenen Komplement getrennt ist. Dies ist sicher richtig, falls A die leere Menge oder der ganze Raum X ist. Aber dies sind nicht die einzigen Beispiele. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, falls die leere Menge und der ganze Raum X die einzigen Mengen sind, welche diese Eigenschaft erfüllen. Falls eine nichtleere Teilmenge A von ihrem Komplement getrennt ist und falls die einzige echte Teilmenge von A, welche diese Eigenschaft hat, die leere Menge ist, dann ist A eine offen-zusammenhängende Komponente von X.

Beziehung zu topologisch unterscheidbaren PunktenBearbeiten

In einem topologischen Raum X heißen zwei Punkte x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, so dass genau einer der beiden Punkte zu ihr gehört. Für topologisch unterscheidbare Punkte sind die einelementigen Mengen {x} und {y} disjunkt. Sind andererseits die Mengen {x} und {y} getrennt, so sind die Punkte x und y topologisch unterscheidbar.