Sorgenfrey-Ebene

Beispiel aus der Topologie

Die Sorgenfrey-Ebene ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

DefinitionBearbeiten

Ist   die Sorgenfrey-Gerade, so heißt das kartesische Produkt   mit der Produkttopologie die Sorgenfrey-Ebene. Dabei ist die Sorgenfrey-Gerade   derjenige topologische Raum, der auf der Menge   von allen halboffenen Intervallen   als Basis erzeugt wird, das heißt die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle   darstellbaren Mengen.

Die der Sorgenfrey-Ebene zugrundeliegende Menge ist also   und die Topologie der Sorgenfrey-Ebene wird demnach von der Menge aller halboffenen Rechtecke der Form   als Basis erzeugt.

Beispiele offener MengenBearbeiten

Da die Mengen   in der Sorgenfrey-Geraden offen und abgeschlossen sind, gilt das auch für  . Die Sorgenfrey-Ebene besitzt daher eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Rechteck   ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Ebene, denn

 .

Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist daher echt feiner als die euklidische Topologie.

EigenschaftenBearbeiten

Die Sorgenfrey-Ebene   hat folgende Eigenschaften:

  •   ist als Produkt eines vollständig regulären Raumes vollständig regulär.
  •   ist total unzusammenhängend.
  •   hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
  •   ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Ebene ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf  .
  •   ist separabel (  liegt dicht, denn jede Basismenge enthält einen Punkt mit rationalen Koordinaten), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen   bilden eine Umgebungsbasis von  ), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  •   ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
  •   ist kein normaler Raum (siehe unten).

GegenbeispieleBearbeiten

 
Der Unterraum   trägt die diskrete Topologie.

Die Menge   trägt als Teilraumtopologie die diskrete Topologie, denn für jeden Punkt   gilt  , wie nebenstehende Zeichnung verdeutlicht.

Insbesondere ist   mit der Teilraumtopologie nicht separabel. Die Sorgenfrey-Ebene ist daher ein Beispiel dafür, dass sich Separabilität im Allgemeinen nicht auf Teilräume vererbt. Ein weiteres Beispiel für diesen Sachverhalt ist der Niemytzki-Raum.

  als Teilmenge von   ist abgeschlossen, da   schon bezüglich der euklidischen Topologie abgeschlossen ist. Wegen der Diskretheit von   ist dann jede Teilmenge von   abgeschlossen in  . Setzt man  , so sind   und   zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, die sich nicht durch offene Mengen trennen lassen.   ist daher nicht normal. Da die Sorgenfrey-Gerade normal ist, zeigt die Sorgenfrey-Ebene, dass ein Produkt normaler Räume im Allgemeinen nicht normal ist. Da die Sorgenfrey-Gerade sogar parakompakt ist, ist die Sorgenfrey-Ebene auch ein Beispiel dafür, dass Produkte parakompakter Räume im Allgemeinen nicht wieder parakompakt sind.

LiteraturBearbeiten