Total unzusammenhängender Raum

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Total unzusammenhängende Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. In jedem topologischen Raum sind einelementige Teilmengen und die leere Menge zusammenhängend. Die total unzusammenhängenden Räume sind dadurch gekennzeichnet, dass es in ihnen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

Das wohl bekannteste Beispiel ist die Cantor-Menge. Total unzusammenhängende Räume treten in vielen mathematischen Theorien auf.

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt total unzusammenhängend, wenn es neben der leeren und den einelementigen Teilmengen keine weiteren zusammenhängenden Teilmengen gibt.

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

  • Unterräume und Produkte total unzusammenhängender Räume sind wieder total unzusammenhängend.[1]
  • Jede stetige Abbildung von einem zusammenhängenden Raum in einen total unzusammenhängenden Raum ist konstant, denn das Bild ist wieder zusammenhängend und daher einelementig.

AnwendungenBearbeiten

Boolesche AlgebrenBearbeiten

Nach dem Darstellungssatz von Stone gibt es zu jeder Booleschen Algebra einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten, total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorrfraum  , so dass die Boolesche Algebra isomorph zur Algebra der offen-abgeschlossenen Teilmengen von   ist.[2] Daher nennt man total unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume in diesem Zusammenhang auch Boolesche Räume.

C*-AlgebrenBearbeiten

Jede kommutative C*-Algebra   ist nach dem Satz von Gelfand-Neumark isometrisch isomorph zur Algebra der stetigen Funktionen   für einen bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten lokalkompakten Hausdorffraum  . Es gilt[3]:

  • Eine kommutative, separable C*-Algebra ist genau dann AF-C*-Algebra, wenn   total unzusammenhängend ist.

p-adische ZahlenBearbeiten

Die ganzen p-adischen Zahlen   zu einer Primzahl   sind bekanntlich als Reihen der Form   mit   darstellbar. Damit kann man   mit   identifizieren, was   zu einem total unzusammenhängenden, kompakten Hausdorffraum macht. Dann ist der Körper der p-adischen Zahlen   ein σ-kompakter, lokalkompakter, total unzusammenhängender Raum.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Philip J. Higgins: An Introduction to Topological Groups (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 15). Cambridge University Press, London u. a. 1974 (recte 1975), ISBN 0-521-20527-1, Kapitel II.7, Satz 9.
  2. Paul R. Halmos: Lectures on Boolean Algebra. Springer, New York NY u. a. 1974, ISBN 0-387-90094-2, § 18, Theorem 6, Theorem 7.
  3. Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Example (= Fields Institute Monographs. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.2.5.