Sorgenfrey-Gerade

Die Sorgenfrey-Gerade ist ein nach dem Mathematiker Robert Henry Sorgenfrey benanntes Beispiel aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie.

DefinitionBearbeiten

Die Sorgenfrey-Gerade   ist derjenige topologische Raum, der auf der Menge   von allen halboffenen Intervallen   als Basis erzeugt wird, das heißt, die offenen Mengen dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle   darstellbaren Mengen.

BemerkungenBearbeiten

  • Ersetzt man die halboffenen Intervalle   durch  , so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum,   ist offenbar ein Homöomorphismus.
  • Das Produkt   heißt Sorgenfrey-Ebene und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

Beispiele offener MengenBearbeiten

Alle Mengen der Form

 
 

sind offen. Daher sind die Mengen   nicht nur offen, sondern wegen   auch abgeschlossen, das heißt   besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der euklidischen Topologie offene Intervall   ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

 .

EigenschaftenBearbeiten

Die Sorgenfrey-Gerade   hat folgende Eigenschaften:

  •   ist ein perfekt normaler Raum.
  •   hat die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension 0.
  •   ist total unzusammenhängend.
  •   ist nicht diskret, denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf  .
  •   ist separabel (  liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten Abzählbarkeitsaxiom (die Mengen   bilden eine Umgebungsbasis von  ), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  •   ist nicht metrisierbar, denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
  •   ist parakompakt, aber weder σ-kompakt noch lokalkompakt.

LiteraturBearbeiten