Orthokompakter Raum

Ein orthokompakter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine Verallgemeinerung des kompakten Raumes.

Definition

Eine Familie an Teilmengen eines topologischen Raumes, für die für jeden Punkte des Raumes der Schnitt der diesen enthaltenden Teilmengen der Familie offen ist wird innererhaltende Familie (oder Q-Familie) genannt. Ein topologischer Raum, für den für jede (abzählbare) offene Überdeckung eine innererhaltende offene Verfeinerung existiert, wird (abzählbar) orthokompakt genannt.

Eigenschaften

• Kompakte Räume sind orthokompakt. Das folgt daraus, dass eine endliche Teilüberdeckung insbesondere innererhaltend ist.
• (Abzählbar) metakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass punktendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
• (Abzählbar) parakompakte Räume sind (abzählbar) orthokompakt. Das folgt daraus, dass lokalendliche Verfeinerung insbesondere innererhaltend sind.
• Abgeschlossene Unterräume von orthokompakten Räumen sind orthokompakt.
• Jeder orthokompakte Raum ist abzählbar orthokompakt. Das folgt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung insbesondere eine offene Überdeckung ist.
• Jeder abzählbar orthokompakte Lindelöf-Raum ist orthokompakt. Das folgt daraus, dass in Lindelöf-Räumen für jede offene Überdeckung bereits eine abzählbare offene Teilüberdeckung existiert.
• Für einen orthokompakten Raum $X$ ist $X\times [0,1]$ genau dann orthokompakt, wenn $X$ abzählbar metakompakt ist.
• P-Räume sind abzählbar orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede abzählbare offene Überdeckung eines P-Raumes innererhaltend ist.
• Räume mit Alexandroff-Topologie sind orthokompakt. Das folgt direkt daraus, dass jede offene Überdeckung eines Raumes mit Alexandroff-Topologie innererhaltend ist.

Weblinks

• orthocompact space auf nLab (englisch)