Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum ist ein mathematisches Objekt aus der mengentheoretischen Topologie. Es handelt sich um ein Konzept, welches das des kompakten Raums verallgemeinert. Benannt ist der Lindelöf-Raum nach dem Mathematiker Ernst Leonard Lindelöf.

Ein Lindelöf-Raum ist erblich (englisch hereditarily), falls jeder seiner offenen Unterräume ein Lindelöf-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

Satz von Lindelöf

Hat der topologische Raum $X$ eine abzählbare Basis, so ist $X$ ein Lindelöf-Raum.

Weitere Eigenschaften

• Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder $\sigma$-kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
• Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
• Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
• Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.

Erblicher Lindelöf-Raum

Ein Lindelöf-Raum $X$ ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.

• Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
• Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.

Eigenschaften

• Wenn $X$ ein lokalkonvexer Raum mit topologischen Dualraum $X'$, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist, dann gilt für die zylindrische σ-Algebra ${\mathcal {E}}(X,X')$ und borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}(X)$ folgende Gleichheit

${\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).$

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.