Pseudometrik

Verallgemeinerung eines metrischen Raums, in dem der Abstand zwischen zwei verschiedenen Punkten Null sein kann

Die Pseudometrik, auch Halbmetrik oder Spanne ist ein mathematischer Abstandsbegriff, der den spezielleren Begriff der Metrik abschwächt. Durch eine Pseudometrik, häufiger noch durch ein System von Pseudometriken, auf einer Menge wird im mathematischen Teilgebiet Topologie eine uniforme Struktur auf dieser Menge eingeführt. Umgekehrt gilt: Jede uniforme Struktur ist durch ein System von Spannen induzierbar. Für uniforme Räume, die ein abzählbares Fundamentalsystem haben, gilt sogar: Ihre uniforme Struktur kann durch eine einzige Spanne induziert werden.

Definition und EigenschaftenBearbeiten

Sei   eine beliebige Menge. Eine Abbildung   heißt Pseudometrik, Halbmetrik oder Spanne, wenn für beliebige Elemente  ,   und   von   die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1.   („Die Spanne zwischen einem Punkt und dem Punkt selbst ist 0.“),
  2.   (Symmetrie: „Die Spanne zwischen zwei Punkten hängt nicht von der Reihenfolge ab.“) und
  3.   (Dreiecksungleichung: „Die Spanne ist auf dem direkten Weg am kürzesten.“).

Aus den Bedingungen folgt, dass keine Spanne negativ sein kann, denn es gilt  .

Der einzige Unterschied zur Definition einer Metrik ist also, dass die Definitheitsbedingung fehlt: Es kann Elemente geben, die verschieden sind, aber zwischen denen die Spanne dennoch 0 ist:

 .

Gibt es solche Elemente in  , dann sagt man auch, die Spanne   ist eine echte Pseudometrik. Gibt es sie nicht, dann ist die Spanne   sogar eine Metrik.

Einige Begriffe, die in metrischen Räumen mit Hilfe einer Metrik definiert werden, lassen sich wörtlich gleich auch mit Spannen definieren, zum Beispiel die beschränkten Teilmengen von  , beschränkte Abbildungen nach  , gleichmäßig beschränkte Familien von Abbildungen nach   (siehe dazu: Beschränktheit).

Als Beispiel sei hier nur der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit ausgeführt: Seien   und   Mengen mit den Spannen   bzw.  . Dann heißt eine Abbildung   gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem positiven   ein positives   gibt, so dass

  gilt.

Spannen und uniforme StrukturenBearbeiten

Definition einer uniformen Struktur durch SpannenBearbeiten

Sei   eine Menge mit der Spanne  . Dann bildet das System   aller Relationen der Form

 ,
 

ein Fundamentalsystem einer uniformen Struktur auf  . Diese Struktur heißt von der Spanne   definiert.

Ist auf   eine Familie   von Spannen gegeben, dann heißt das Supremum der durch   definierten uniformen Strukturen, also die gröbste uniforme Struktur, in der alle   gleichmäßig stetig sind, die von der Familie definierte uniforme Struktur.

Definition einer Spanne durch eine uniforme StrukturBearbeiten

Die folgende Konstruktion ist eine Beweisskizze für die Aussage aus der Einleitung: „Jede uniforme Struktur auf  , die ein abzählbares Fundamentalsystem besitzt, lässt sich durch eine Spanne definieren“. Sei dazu jetzt   ein solcher uniformer Raum und   ein abzählbares Fundamentalsystem.

Nun werden die Nachbarschaften zunächst symmetrisiert und zugeschnitten, wir ersetzen   durch symmetrische Nachbarschaften   mit den Eigenschaften   und   (mit   ist hier die Verkettung im Relationensinn gemeint). Die Hilfsfunktion

 

ist symmetrisch und verschwindet auf der Diagonalen. Um die Dreiecksungleichung zu erfüllen, muss jetzt noch der kürzeste Weg gefunden werden. Sei dazu   die Menge aller endlichen Folgen von Punkten aus   mit Anfangspunkt   und Endpunkt  . Die gesuchte Spanne ist dann

 .

Die Spanne   ist natürlich durch die uniforme Struktur auf   nicht eindeutig bestimmt. Die durch   wie oben beschrieben definierte Struktur stimmt dann aber mit der ursprünglichen uniformen Struktur überein.

Beispiele und Konstruktion von SpannenBearbeiten

  • Jede Metrik ist eine Spanne, jedes Beispiel für einen metrischen Raum   liefert also ein Beispiel für eine Spanne.
  • Die Nullspanne   erzeugt die indiskrete Topologie auf jeder Menge  , die sich damit als uniforme Struktur erweist.
  • Auf der Menge der positiven Stammbrüche   sind durch die Betragsmetrik und durch die diskrete Metrik je eine Spanne gegeben (sogar eine Metrik). Beide Spannen induzieren dieselbe, nämlich die diskrete Topologie, auf  , sind also topologisch äquivalent. Sie definieren jedoch unterschiedliche uniforme Strukturen auf  .
  • Endlich viele Spannen   auf   können zu einer neuen Spanne   addiert werden.
  • Abzählbar viele Spannen   auf   können zu der Spanne
 
zusammengesetzt werden.

LiteraturBearbeiten