Nüchterner Raum

Art von Raum

Ein nüchterner Raum ist ein in der mathematischen Theorie der topologischen Räume betrachteter Raum, der sich dadurch auszeichnet, dass seine abgeschlossenen, irreduziblen Mengen (siehe unten) einfach zu beschreiben sind. Die Bezeichnung nüchtern (engl. sober) geht auf M. Artin, A. Grothendieck und J.Verdier zurück.[1][2]

BegriffeBearbeiten

Eine nicht-leere, abgeschlossene Menge   eines topologischen Raums   heißt irreduzibel, wenn sie nicht Vereinigung zweier echter, abgeschlossener Teilmengen ist, das heißt, ist   mit zwei abgeschlossenen Teilmengen  , so muss   oder   sein.

Ein Beispiel ist der Abschluss   eines Punktes  , denn ist   wie oben, so muss eine der Mengen   den Punkt   enthalten und damit auch dessen Abschluss, das heißt, es folgt  . Im Allgemeinen sind irreduzible Mengen nicht von dieser Form, und wenn sie von dieser Form sind, dann muss der Punkt   nicht unbedingt eindeutig sein. Das motiviert die folgende Definition:

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt nüchtern, falls jede abgeschlossene, irreduzible Teilmenge Abschluss genau eines Punktes ist.

Das bedeutet genauer: Ein topologischer Raum   heißt nüchtern, falls jede abgeschlossene, irreduzible Teilmenge   von der Form   mit einem eindeutig bestimmten Punkt   ist.[3]

Der eindeutig bestimmte Punkt   mit   heißt der generische Punkt von  .

BeispieleBearbeiten

  • Jeder Hausdorffraum ist nüchtern, denn die abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen sind genau die einelementigen Teilmengen.
  • Der zweielementige Raum   mit den offenen Mengen   und   ist nüchtern, denn   und   sind die einzigen abgeschlossenen, irreduziblen Mengen. Dies ist daher ein Beispiel eines nüchternen Raums, der nicht hausdorffsch ist, denn er ist nicht einmal ein T1-Raum.
  • Der topologische Raum   mit der kofiniten Topologie ist ein T1-Raum, der nicht nüchtern ist. Da neben dem Gesamtraum nur die endlichen Mengen abgeschlossen sind, ist der Gesamtraum zwar abgeschlossen und irreduzibel aber nicht gleich dem Abschluss eines Punkts, das heißt,   ist nicht nüchtern.
  • Das Spektrum   eines kommutativen Ringes mit Einselement ist mit der Zariski-Topologie nüchtern. Umgekehrt ist jeder quasi-kompakte, nüchterne Raum von dieser Gestalt.[4]

EigenschaftenBearbeiten

T0-Eigenschaft und alternative DefinitionenBearbeiten

Nüchterne Räume sind T0-Räume, denn für je zwei verschiedene Punkte   und   ist wegen der Eindeutigkeitsbedingung obiger Definition  , das heißt, es ist   oder  , woraus man leicht die T0-Eigenschaft erhält.

Manche Autoren verzichten in der Definition eines nüchternen Raumes auf die Eindeutigkeitsbedingung und fordern stattdessen die T0-Eigenschaft.[5] Das erweist sich als äquivalent, da die Eindeutigkeitsbedingung aus der T0-Eigenschaft folgt.

Eine weitere alternative Definition erhält man, wenn man zu Komplementen übergeht und dann die Definitionsbedingung mittels offener Mengen formuliert:[6]

Ein topologischer Raum   heißt nüchtern, wenn es für jede echte, offene Teilmenge   mit der Eigenschaft, dass für alle offene Mengen   aus   schon   oder   folgt, ein eindeutiges   existiert, so dass   gilt.

Einordnung in die TrennungsaxiomeBearbeiten

Da nüchterne Räume nach obigem T0 sind, ist Nüchternheit wie T1 eine zwischen T0 und T2 (Hausdorff-Eigenschaft) gelegene Eigenschaft. T1 und Nüchternheit gestatten keine direkte Vergleichbarkeit, denn nach obigen Beispielen gibt es Räume, die eine der Eigenschaften haben aber die jeweils andere nicht. Wie die folgenden kategoriellen Eigenschaften zeigen, ist Nüchternheit allerdings eher eine Abgeschlossenheitseigenschaft als eine Trennungseigenschaft.

Kategorielle Eigenschaften und SobrificationBearbeiten

Es sei   die Unterkategorie der nüchternen Räume in der Kategorie   aller topologischen Räume. Dann hat der Vergissfunktor   einen linksadjungierten Funktor  , der in der englischsprachigen Literatur „Sobrification“ heißt, was sich sinngemäß mit Herstellung von Nüchternheit übersetzen ließe.[7]

Die Konstruktion des Funktors   sieht wie folgt aus. Ist   ein beliebiger, topologischer Raum, so sei   die Menge aller irreduziblen, abgeschlossenen Teilmengen. Für jede offene Menge   sei

 .

Dann bilden die   die offenen Mengen einer Topologie, die   zu einem nüchternen Raum macht. Die kanonische Abbildung

 

ist stetig. Ist   stetig, so sei

 .

Diese Definitionen machen   zu obigem Sobrification-Funktor.

Die oben genannte Linksadjungiertheit zum Vergissfunktor   bedeutet folgende universelle Eigenschaft: Ist   ein topologischer Raum und   eine stetige Abbildung, wobei   ein nüchterner Raum sei, so gibt es genau eine stetige Abbildung  , so dass  .

Ist   nüchtern, so ist   ein Homöomorphismus, das heißt, der Übergang zu   bringt nichts Neues. In diesem Sinne ist die Anwendung des Funktors   eine Abschlussabbildung und nüchterne Räume können als die bzgl.   abgeschlossenen Räume angesehen werden.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M. Artin, A. Grothendieck, J. Verdier: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie, 1963–1964
  2. C. E. Aull, R. Lowen: Handbook of the History of General Topology, Band 1, Kluwer Academic Publishers 1997, ISBN 0-7923-4479-0, Seite 325
  3. Michel Marie Deza, Elena Deza: Encyclopedia of Distances, 2. Auflage, Springer Verlag, ISBN 978-3-642-30957-1, Seite 62.
  4. M. Hochster: Prime ideal structure in commutative rings, Trans. Amer. Math. Soc. 142, (1969), Seiten 43–60. (Hier heißen die entsprechenden Räume spektral).
  5. Jean Goubault-Larrecq: Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology, Cambridge University Press 2013, ISBN 978-1-107-03413-6, Kapitel 8.2 Sober spaces and sobrification, Definition 8.2.4
  6. S. Mac Lane, I. Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag 1992, ISBN 0-387-97710-4, Kapitel IX, Paragraph 2, Definition 2
  7. P. T. Johnstone: Topos Theory, Academic Press 1977, ISBN 0-12-387850-0, Satz 7.22