Quotientennorm

in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

DefinitionBearbeiten

Es seien   ein normierter Raum und   ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum   definiere man

 .

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem KernBearbeiten

Ist   ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes  , so ist die Quotientenabbildung   linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von   auf die offene Einheitskugel von   ab und es ist  . Die Operatornorm der Quotientabbildung ist  , falls   ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich  .

Seien umgekehrt   normierte Räume und   eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von   auf die offene Einheitskugel von   abbildet. Dann ist   stetig, surjektiv und die Isomorphie   ist eine Isometrie.

EigenschaftenBearbeiten

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

  • Ist   ein Banachraum und   ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch   ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist   ein Hilbertraum und   ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch   ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
  • Ist   ein gleichmäßig konvexer Raum und   ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch   gleichmäßig konvex.
  • Ist   eine Banachalgebra und   ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch   eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist   eine C*-Algebra und   ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch   eine C*-Algebra, d. h. die C*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

QuotientenhalbnormenBearbeiten

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes   wird durch eine Menge   von Halbnormen erzeugt. Sei   ein Unterraum. Für jedes   ist die Quotientenhalbnorm   eine Halbnorm auf dem Quotientenraum  , wobei

 .

Dann stimmt die Finaltopologie auf   mit der durch die Halbnormen   erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

QuelleBearbeiten