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In der Mathematik wird der Begriff Einschränkung meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet.

Auch für Relationen ist es möglich, die Einschränkung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten.

Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o. B. d. A.) benutzt. Diese hat mit den hier erläuterten mathematischen Begriffen nichts zu tun.

Inhaltsverzeichnis

Einschränkung einer FunktionBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   eine beliebige Funktion und   eine Teilmenge der Definitionsmenge  , dann versteht man unter der Einschränkung (oder Restriktion)   von   auf   diejenige Funktion  , die auf   mit   übereinstimmt. Fasst man die Funktion   als rechtseindeutige, linkstotale Relation auf, dann reproduziert diese Definition die der Vorbeschränkung  . Mit Hilfe der Inklusionsabbildung   lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

 .

In der Situation   nennt man   auch eine Fortsetzung von  .[1] Ein Beispiel hierfür ist die stetige Fortsetzung.

BeispielBearbeiten

  sei die Menge der reellen Zahlen und   mit   die Quadratfunktion.   ist nicht injektiv, die Einschränkung   auf das Intervall   der nichtnegativen reellen Zahlen ist dies aber schon. Wenn man auch noch die Zielmenge auf die Bildmenge (ebenfalls  ) einschränkt, erhält man die bijektive Quadratfunktion   mit  , die also eine Umkehrfunktion hat, nämlich die Quadratwurzelfunktion.

VerträglichkeitsregelnBearbeiten

Die Vereinigung der (Graphen der) Einschränkungen einer Funktion   auf eine Menge   und eine Menge   ist gleich der Einschränkung auf die Vereinigung dieser beiden Mengen. Gleiches gilt für den Schnitt:

 
 

Ähnliches gilt für andere Mengenoperationen, sowie für unendliche Vereinigung und Schnitt. Daraus folgt: Sind die beiden Mengen   und   disjunkt, so sind es auch die (Graphen der) eingeschränkten Funktionen   und  .

Einschränkung einer RelationBearbeiten

Zweistellige RelationenBearbeiten

Sei   eine zweistellige Relation aus dem Vorbereich   in den Nachbereich   und seien   Mengen, dann heißt[1]

 

die Vorbeschränkung von   in   und

 

die Nachbeschränkung von   in  .[2][3][4] In der Praxis wird dabei meist   und   gelten, obwohl das keine Voraussetzung sein muss.

Legt man die alternative ausführliche Definition von Relationen   mit       zugrunde, dann stellt sich die Vorbeschränkung von   auf eine Menge   dar als

 

und die Nachbeschränkung auf eine Menge   als

 .

Solange die Definitions- bzw. Wertebereiche nicht eingeschränkt werden (  bzw.  ), sind die Vor- bzw. Nachbeschränkungen im Wesentlichen gleich der ursprünglichen Relation (insbesondere im Fall der Gleichheit  ).

Homogene zweistellige RelationenBearbeiten

Bei homogenen zweistelligen Relationen   auf der Menge   (d. h.  ) spricht man von einer totalen Einschränkung (oder einfach Einschränkung), wenn diese Relation gleichzeitig in dieselbe Menge vor- und nachbeschränkt wird:

 [5]

Auf die Reihenfolge, in der Vor- und Nachbeschränkung angewendet werden, kommt es nicht an.
Insbesondere gilt: Ist   eine homogene zweistellige Relation auf der Menge   und   eine Teilmenge von   dann ist die Relation   auf   die Einschränkung von   auf   wenn für alle   und   aus   gilt:

 .

n-stellige RelationenBearbeiten

Prinzipiell lässt sich die obige Definition auf beliebige  -stellige Relationen erweitern. Für eine n-stellige homogene Relationen   auf einer Menge   (d. h.  ) ist die (totale) Einschränkung gegeben durch

 

Insbesondere gilt analog zum obigen: Ist   eine homogene  -stellige Relationen auf einer Menge   (d. h.  ), und   eine Teilmenge von  , dann ist die  -stellige Relation   auf   die Einschränkung von   auf   wenn für alle  -gliedrigen Sequenzen   aus   gilt:

 

BeispielBearbeiten

Die Kleiner-Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Einschränkung der Kleiner-Relation auf der Menge der rationalen Zahlen.

Einschränkung einer DarstellungBearbeiten

Eine lineare Darstellung einer Gruppe   auf einem Vektorraum   ist ein Homomorphismus   von   in die allgemeine lineare Gruppe  . Unter einer Einschränkung können zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden.

  • Falls   ein invarianter Unterraum ist, dann erhält man eine eingeschränkte Darstellung  .
  • Falls   eine Untergruppe ist, dann ist   eine Darstellung von  , die mit   (für Restriktion) bezeichnet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man auch nur   oder auch kurz   Man verwendet auch die Schreibweise   bzw.   für die Einschränkung einer Darstellung (auf)   von   auf  

LiteraturBearbeiten

  • Dieter Klaua: Mengenlehre. De-Gruyter-Lehrbuch. de Gruyter, Berlin, New York 1979, ISBN 3-11-007726-4. Der Autor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation, verwendet dann aber das Zeichen   anstelle von  . Im Artikel hier ist jedoch durchgängig   und   (Graph von  ) benutzt.
  • Willard van Orman Quine: Set Theory And Its Logic. Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, USA 1963, ISBN 0-674-80207-1. S. 359 (HC) / 380 (PB).
    Willard van Orman Quine: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung). Band 10). Vieweg+Teubner Verlag, 1973, ISBN 3-528-08294-1, S. 264. Der Autor benutzt griechische Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung von Mengen im Allgemeinen (wie hier   und  ) und Relationen im Besonderen. Die Seitenangaben beziehen sich auf die deutsche Übersetzung.

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. a b Gelegentlich wird in der Mengenlehre eine abweichende Notation verwendet:
     
     
    und ebenso für Abbildungen (Funktionen)
     
     
    Beispiele siehe Proofwiki: Restriction, Proofwiki: Restriction/Mapping und Martin Ziegler: Vorlesung über Mengenlehre, Universität Freiburg, 1992-2014, Seite 7. Man beachte, dass diese Notation mit dem Harpunensymbol in unterschiedlicher Weise gebraucht wird und teilweise konträr zu der von W. v. O. Quine und D. Klaua ist!
  2. D. Klaua: Mengenlehre, S. 66, Definition 8 (a), Teil 1, Teil 2, Teil 3.
  3. W. v. O. Quine: Mengenlehre und ihre Logik, Seite 47, 9.16 f.
  4. Dabei sind
     
    der Definitions- und Wertebereich der Relation  ;   ist der Existenzquantor, gelesen: Es gibt (mindestens) ein …
  5. D. Klaua, Mengenlehre, S. 66, Definition 8 (a), Teil 4.