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Das Kurven-, Linien-, Weg- oder Konturintegral erweitert den gewöhnlichen Integralbegriff für die Integration in der komplexen Ebene (Funktionentheorie) oder im mehrdimensionalen Raum (Vektoranalysis).

Den Weg, die Linie oder die Kurve, über die integriert wird, nennt man den Integrationsweg.

Wegintegrale über geschlossene Kurven werden auch als Ringintegral, Umlaufintegral[1] oder Zirkulation bezeichnet und mit dem Symbol geschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Reelle WegintegraleBearbeiten

Wegintegral erster ArtBearbeiten

 
Illustration eines Kurvenintegrals erster Art über ein Skalarfeld

Das Wegintegral einer stetigen Funktion,

 

entlang eines stückweise stetig differenzierbaren Weges

 

ist definiert als

 

Dabei bezeichnet   die Ableitung von   nach   und   die euklidische Norm des Vektors  .

Die Bildmenge   ist eine stückweise glatte Kurve in  .

AnmerkungenBearbeiten

  • Ein Beispiel für eine solche Funktion   ist ein Skalarfeld mit kartesischen Koordinaten.
  • Ein Weg   kann eine Kurve   entweder als Ganzes oder auch nur in Abschnitten mehrfach durchlaufen.
  • Für   ergibt das Wegintegral erster Art die Länge des Weges  .
  • Der Weg   bildet u. a.   auf den Anfangspunkt der Kurve ab und   auf deren Endpunkt.
  •   ist ein Element der Definitionsmenge von   und steht allgemein nicht für die Zeit.   ist das zugehörige Differential.

Wegintegral zweiter ArtBearbeiten

 
Illustration eines Kurvenintegrals zweiter Art über ein Vektorfeld

Das Wegintegral über ein stetiges Vektorfeld

 

mit einer ebenfalls so parametrisierten Kurve ist definiert als das Integral über das Skalarprodukt aus   und  :

 

Einfluss der ParametrisierungBearbeiten

Sind   und   einfache (d. h.   und   sind injektiv) Wege mit   und   und demselben Bild, parametrisieren sie also dieselbe Kurve in derselben Richtung und durchlaufen sie die Kurve (bis auf Doppelpunkte) genau einmal, so stimmen die Integrale entlang   und   überein. Dies rechtfertigt den Namen Kurvenintegral; ist die Integrationsrichtung aus dem Kontext ersichtlich oder irrelevant, wird daher der Weg in der Notation unterdrückt.

KurvenintegraleBearbeiten

Da eine Kurve   das Bild eines Weges   ist, entsprechen die Definitionen der Kurvenintegrale im Wesentlichen den Wegintegralen.

Kurvenintegral 1. Art:

 

Kurvenintegral 2. Art:

 

Ein Spezialfall ist wieder die Länge der durch   parametrisierten Kurve  :

 

Wegelement und LängenelementBearbeiten

Der in den Kurvenintegralen erster Art auftretende Ausdruck

 

heißt skalares Wegelement oder Längenelement. Der in den Kurvenintegralen zweiter Art auftretende Ausdruck

 

heißt vektorielles Wegelement.

RechenregelnBearbeiten

Seien  ,   Kurvenintegrale gleicher Art (d. h. entweder beide erster oder beide zweiter Art), sei das Urbild der beiden Funktionen   und   von gleicher Dimension und sei  . Dann gelten für  ,   und   die folgenden Rechenregeln:

  •      (Linearität)
  •      (Zerlegungsadditivität)

Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen KurvenBearbeiten

Ist   ein geschlossener Weg, so schreibt man

statt   auch  ,

und analog für geschlossene Kurven  

statt   auch  .

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass   geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

BeispieleBearbeiten

  • Ist   der Graph einer Funktion  , so wird diese Kurve durch den Weg
 
parametrisiert. Wegen
 
ist die Länge der Kurve gleich
 
  • Eine Ellipse mit großer Halbachse   und kleiner Halbachse   wird durch   für   parametrisiert. Ihr Umfang ist also
 .
Dabei bezeichnet   die numerische Exzentrizität   der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.

WegunabhängigkeitBearbeiten

Ist ein Vektorfeld   ein Gradientenfeld, d. h.   ist der Gradient eines skalaren Feldes  , mit

 

so gilt für die Ableitung der Verkettung von   und  

 

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über   auf   entspricht. Daraus folgt für eine gegebene Kurve  

 
 
Zwei beliebige Kurven   und   in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von   über   ausschließlich von den Punkten   und   abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als "wegunabhängig" bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve  , mit zwei beliebigen Wegen   und  

 

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld   ist dabei das Potential beziehungsweise die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

 
Die Kurve   umläuft den Nullpunkt   zweimal.

Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung   eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von   proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).

Komplexe WegintegraleBearbeiten

Ist   eine komplexwertige Funktion, dann nennt man   integrierbar, wenn   und   integrierbar sind. Man definiert

 .

Das Integral ist damit  -linear. Ist   stetig und   eine Stammfunktion von  , so gilt wie im Reellen

 .

Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist   eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet  , und ist   ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in  , so ist das Wegintegral von   entlang des Weges   definiert als

 

Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion   hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von   ab. Ist   einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von  , sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges   durch

 .

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die sogenannte Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

 , wenn   für alle   gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges  , d. h. es ist nicht zwingend notwendig,   als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg   durch eine Kurve   in   ersetzt.

Siehe dagegenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981; 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 369 Satz 180.1, S. 391 Satz 184.1, S. 393 Satz 185.1

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Kurvenintegral – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 978-3-540-64491-0, S. 524.