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Die kinetische Energie (von griechisch kinesis = Bewegung) oder auch Bewegungsenergie oder selten Geschwindigkeitsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen. Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird häufig oder verwendet.

Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.

Das Konzept der kinetischen Energie als einer Größe, die bei elastischen Stößen und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als vis viva („Lebendige Kraft“) von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt, der darin in Streit mit den Anhängern von René Descartes die korrekte Erhaltungsgröße in der Mechanik sah (1686). Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie. Der Faktor 1/2 in der Formel für die kinetische Energie findet sich schon 1726 bei Daniel Bernoulli.[1] Das eigentliche Energiekonzept bildete sich aber erst im 19. Jahrhundert heraus, insbesondere in der Schule der angewandten Mathematik in Frankreich und mit dem Aufkommen der Thermodynamik. In der Mechanik des 18. Jahrhunderts, deren Hauptuntersuchungsgegenstand die Himmelsmechanik war, spielte es noch keine große Rolle.[2]

Inhaltsverzeichnis

Kinetische Energie in der klassischen MechanikBearbeiten

MassenpunktBearbeiten

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie E eines Massenpunktes abhängig von seiner Masse   und seiner Geschwindigkeit  . Es gilt:

 

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse   mit einer Geschwindigkeit von  , hat es demzufolge eine kinetische Energie von  .

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit  , sondern durch seinen Impuls   beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen p = mv):

 

Einfache HerleitungBearbeiten

Wird ein Körper der Masse   aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit   beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit   zufügen. Bei konstanter Kraft gilt:

 

Die Kraft erteilt dem Körper eine gleichmäßige Beschleunigung  , nach der Grundgleichung der Mechanik ist  . Nach einer Zeit   ist die Geschwindigkeit   und es wurde der Weg   zurückgelegt. Alles oben eingesetzt ergibt die Beschleunigungsarbeit

 .

Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert  . Folglich gilt für einen Körper der Masse   mit der Geschwindigkeit  :

 .

Spezielle KoordinatensystemeBearbeiten

In speziellen Koordinatensystemen hat dieser Ausdruck die Form:

 
 
 
 

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit.

Starre KörperBearbeiten

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse   und der Geschwindigkeit   seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:

 

Hier ist   das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und   die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.

Mit dem Trägheitstensor   wird dies allgemein geschrieben als

 

HydrodynamikBearbeiten

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meist durch ein kleines   oder   ausgedrückt:

 

Hierbei bezeichnet   die Dichte.

Kinetische Energie in der relativistischen MechanikBearbeiten

 
Relativistische und klassische kinetische Energie im Vergleich.

In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie   die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:

 

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit, m die Masse und γ der Lorentzfaktor

 

Aus der Taylor-Entwicklung nach   erhält man

 

also für   wieder die Newtonsche kinetische Energie.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht,   ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt für einen Körper mit der Masse von   die relativistische und die Newtonsche kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit).

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in Newtonscher und in relativistischer Physik.

Anwendungsbeispiele
 
Relativistische Geschwindigkeit eines Elektrons nach Durchlaufen eines elektrischen Felds.

Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung   und der Masse   linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung   zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie   und der Ruheenergie  0.[3] Die kinetische Energie   ist also:

 

Beachtet man, dass für die Gesamtenergie

 

gilt ( : relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang

 

besteht, folgt für die Gesamtenergie aus   also:

 

Berechnet man nun die Differenz aus   und  , setzt den Ausdruck gleich   und löst nach   auf, erhält man abschließend:

  mit der Ruheenergie eines Elektrons  

Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.

Der Large Hadron Collider führt Protonen eine Energie von 7 TeV zu. Die Protonen (Ruheenergie 940 MeV) werden dabei auf das 0,999999991-fache der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt.

Kinetische Energie in der QuantenmechanikBearbeiten

In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert   der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse  , welches durch die Wellenfunktion   beschrieben wird, gegeben durch

 ,

wobei   das Quadrat des Impuls-Operators des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte   ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für   Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall   ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

 

geschrieben werden, wobei   das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Szabo, Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkhäuser, S. 71.
  2. Max Jammer, Artikel Energie, in Donald Borchert (Hrsg.), Encyclopedia of Philosophy, Thomson Gale 2006.
  3. A. P. French: Die spezielle Relativitätstheorie – M.I.T. Einführungskurs Physik 1968, S. 19–23.