Gradientenfeld

Begriff der Mathematik und der Physik

Ein Gradientenfeld oder konservatives Feld ist ein Vektorfeld, das aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitet wurde, bzw. – kürzer formuliert – der Gradient des Skalarfelds. Dieses Vektorfeld hat die Eigenschaft, dass sein Kurvenintegral wegunabhängig ist.

Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Autoren die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, auch als Gradientvektoren,[1] andere dagegen mit Blick auf die Potentiale, aus denen sie sich herleiten, als Potentialvektoren[2].

Analog verwendet die überwiegende Zahl der Autoren den Begriff Potentialfeld nicht für das skalare Feld des Potentials selbst, sondern das sich aus ihm ableitende Gradientenfeld[3][4].

DefinitionBearbeiten

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen:

  1. Ein Vektorfeld   heißt Gradientenfeld, wenn es ein Skalarfeld   gibt, sodass gilt:
     
  2. Das Kurvenintegral ist wegunabhängig: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve   innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.
  3. Kurvenintegrale über eine beliebige geschlossene Randkurve   ergeben immer Null:
     

Hier wird mit   der Gradient bezeichnet.   nennt man das zu   gehörige Skalarpotential oder einfach kurz das Potential des Gradientenfelds  .

Der Begriff Potential darf nicht mit dem physikalischen Begriff des „Potentials“ verwechselt werden, mit dem die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds bezeichnet wird, einen dem Feld ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen. Physikalische Potentiale sind dabei stets auch Potentiale im Sinne der Mathematik, wenn damit die entsprechenden Ortsfunktionen (Felder) und nicht nur deren Funktionswerte gemeint sind. Jedoch ist umgekehrt nicht jedes mathematische Potential auch eines im oben genannten physikalischen Sinn, etwa das der potentiellen Energie[5] oder das Geschwindigkeitspotential.

BeispieleBearbeiten

 
Beispiele von Potential- und Gradientenfeldern in der Physik
Skalarfelder (Potentialfelder) (gelb):
VG - Gravitationspotential
Wpot - potentielle Energie
VC - Coulomb-Potential
Vektorfelder (Gradientenfelder) (cyan):
aG - Gravitationsbeschleunigung
F - Kraft
E - elektrische Feldstärke

Leitet man das Feld der potentiellen Energie  , wie in der nebenstehenden Abb. gezeigt, nach dem Ort   ab[1], erhält man den Energiegradienten  , also ein Vektorfeld, dessen einzelne Vektoren dabei in die Richtung der jeweils stärksten Zunahme von   an der Stelle   zeigen. Dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend, sind die diesem Gradienten entgegengesetzten Vektoren   nichts anderes als die jeweils in Richtung des steilsten Gefälles von   zeigenden „rücktreibenden“ Kräfte   (Gravitationskraft) und   (Coulombkraft)

 .

Division des Energiegradienten   durch die Skalare m bzw. q liefert analog die Potentialgradienten   (Gravitationspotential) und   (Coulomb-Potential), deren einzelne Vektoren dabei abermals in Richtung der jeweils stärksten Zunahme des Potentials an der Stelle   zeigen. Die ihnen entgegengesetzten Vektoren   und  

 

heißen Gravitationsbeschleunigung bzw. elektrische Feldstärke.

VorzeichenBearbeiten

Handelt es sich bei dem zugrundeliegenden Skalarpotential auch um ein Potential im physikalischen Sinne (s. o.), beschreibt es also ein tatsächliches physikalisches Arbeitsvermögen, wird das sich aus ihm ergebende Gradientenfeld, wie gerade begründet, stets mit einem (der Zunahme des Betrags von   entgegengesetzten) negativem Vorzeichen geschrieben. Bei Skalarfeldern dagegen, die sich nur mathematisch wie Potentiale verhalten, etwa dem Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential, das damit auch keine potentielle Energie repräsentiert, ist das Vorzeichen seines Gradienten undefiniert und wird für gewöhnlich positiv gewählt:

Kraft - Potentielle Energie:  
Elektrische Feldstärke - Coulomb-Potential:  
Gravitationsbeschleunigung - Gravitationspotential:  
aber
Geschwindigkeit - Geschwindigkeitspotential:  

IntegrabilitätsbedingungBearbeiten

Ist   eine offene und einfach zusammenhängende (zum Beispiel sternförmige) Menge und   stetig differenzierbar, so ist   genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingungen

  für alle  

auf   erfüllt ist. Die Aussage erhält man als Spezialfall aus dem Poincaré-Lemma.

Im Zwei- und Dreidimensionalen lauten die Integrabilitätsbedingungen:

  • Für  :  
  • Für  :   [6]

Äquivalent dazu ist in beiden Fällen die Bedingung der Wirbelfreiheit  , also dass die Rotation verschwindet.

Auf Gebieten, die nicht einfach zusammenhängend sind, sind diese Integrabilitätsbedingungen zwar notwendig, aber im Allgemeinen nicht hinreichend.

WirbelfreiheitBearbeiten

Wie aus der Integrabilitätsbedingung folgt, sind Gradientenfelder rotations- bzw. wirbelfrei[2]

 .

Wichtig zu beachten ist, dass die Umkehrung nicht immer gilt. Nicht alle wirbelfreien Felder sind Gradientenfelder, sondern nur diejenigen, deren Definitionsbereich ein einfach zusammenhängend ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 579.
  2. a b W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 547.
  3. §4 Potentialfelder. (PDF; 1,8 MB) In: Mathematik für Ingenieure III. WS 2009/2010, Universität Kiel.
  4. Albert Fetzer, Heiner Fränkel: Mathematik 2: Lehrbuch für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge. Springer, Berlin/Heidelberg, S. 322.
  5. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 742.
  6. K. Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-20389-3, Korollar S. 193.