Differentialrechnung

Gebiet der Mathematik
(Weitergeleitet von Differentiation)

Die Differential- oder Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Während eine stetige Funktion ihren Eingabewerten kontinuierlich gewisse Ausgangswerte zuordnet, wird durch die Differentialrechnung ermittelt, wie stark sich die Ausgabewerte nach sehr kleinen Veränderungen der Eingabewerte ändern. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird.

Graph einer Funktion (blau) und einer Tangente an den Graphen (rot). Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt.

Die Ableitung einer Funktion dient der Darstellung lokaler Veränderungen einer Funktion und ist gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung. Anstatt von der Ableitung spricht man auch vom Differentialquotienten, dessen geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist nach der Vorstellung von Leibniz der Proportionalitätsfaktor zwischen infinitesimalen Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Eine Funktion wird als differenzierbar bezeichnet, wenn ein solcher Proportionalitätsfaktor existiert. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird mit der Ableitung in dem Punkt eine lineare Näherung der Funktion gewonnen. Die Linearisierung einer möglicherweise komplizierten Funktion hat den Vorteil, dass eine einfacher behandelbare Funktion entsteht als die ursprüngliche Funktion oder überhaupt erst eine Handhabbarkeit.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse.

  • Das Verhalten von Bauelementen mit nicht-linearer Kennlinie wird bei kleinen Signaländerungen in der Umgebung eines Bezugspunktes durch ihr Kleinsignalverhalten beschrieben; dieses basiert auf dem Verlauf der Tangente an die Kennlinie im Bezugspunkt.
  • Die Ableitung nach der Zeit ist im untersuchten Sachverhalt die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- beziehungsweise Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit, und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung.
  • In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung, zum Beispiel Grenzkosten oder Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors.

In der Sprache der Geometrie ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle kann man als die Steigung der Tangente im Punkt des Graphen von definieren.

In der Sprache der Arithmetik schreibt man für die Ableitung einer Funktion an der Stelle . Sie gibt an, um welchen Faktor von sich ungefähr ändert, wenn sich um einen „kleinen“ Betrag ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert oder Limes verwendet.

Einführung

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Heranführung anhand eines Beispiels

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Fährt ein Auto auf einer Straße, so kann anhand dieses Sachverhalts eine Tabelle erstellt werden, in der zu jedem Zeitpunkt die Strecke, die seit dem Beginn der Aufzeichnung zurückgelegt wurde, eingetragen wird. In der Praxis ist es zweckmäßig, eine solche Tabelle nicht zu engmaschig zu führen, d. h. zum Beispiel in einem Zeitraum von 1 Minute nur alle 3 Sekunden einen neuen Eintrag zu machen, was lediglich 20 Messungen erfordern würde. Jedoch kann eine solche Tabelle theoretisch beliebig engmaschig gestaltet werden, wenn jeder Zeitpunkt berücksichtigt werden soll. Dabei gehen die vormals diskreten, also mit einem Abstand behafteten, abzählbaren Daten in ein Kontinuum über. Die Gegenwart wird dann als Zeitpunkt, d. h. als ein unendlich kurzer Zeitabschnitt, interpretiert. Gleichzeitig hat das Auto aber zu jedem Zeitpunkt eine theoretisch bekannte Strecke zurückgelegt, und wenn es nicht bis zum Stillstand abbremst oder gar zurück fährt, wird die Strecke kontinuierlich ansteigen, also zu keinem Zeitpunkt dieselbe sein wie zu einem anderen.

Die Motivation hinter dem Begriff der Ableitung einer Weg-Zeit-Kurve oder -Funktion ist, dass nun angegeben werden kann, wie schnell sich das Auto zu einem momentanen Zeitpunkt bewegt. Aus einem Weg-Zeit-Verlauf soll also der passende Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf abgeleitet werden. Hintergrund ist, dass die Geschwindigkeit ein Maß dafür ist, wie stark sich die zurückgelegte Strecke im Laufe der Zeit ändert. Bei einer hohen Geschwindigkeit ist ein starker Anstieg in der Kurve zu sehen, während eine niedrige Geschwindigkeit zu wenig Veränderung führt. Da jedem Messpunkt auch eine Strecke zugeordnet wurde, sollte eine solche Analyse grundsätzlich möglich sein, denn mit dem Wissen über die zurückgelegte Strecke   innerhalb einem Zeitintervall   gilt für die Geschwindigkeit

 

Sind also   und   zwei unterschiedliche Zeitpunkte, so lautet „die Geschwindigkeit“ des Autos im Zeitintervall zwischen diesen

 

Die Differenzen in Zähler und Nenner müssen gebildet werden, da man sich nur für die innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls   zurückgelegte Strecke   interessiert. Dennoch liefert dieser Ansatz kein vollständiges Bild, da zunächst nur Geschwindigkeiten für Zeitintervalle mit auseinander liegendem Anfangs- und Endpunkt gemessen wurden. Eine momentane Geschwindigkeit, vergleichbar mit einem Blitzerfoto, hingegen bezöge sich auf ein unendlich kurzes Zeitintervall. Dementsprechend ist der oben stehende Begriff „Geschwindigkeit“ durch „durchschnittliche Geschwindigkeit“ zu präzisieren. Auch wenn mit echten Zeitintervallen, also diskreten Daten, gearbeitet wird, vereinfacht sich das Modell insofern, als für ein Auto innerhalb der betrachteten Intervalle keine schlagartige Ortsänderung und keine schlagartige Geschwindigkeitsänderung möglich ist. (Auch eine Vollbremsung benötigt Zeit, und zwar länger als die Zeit, in der die Reifen quietschen.) Damit ist auch in der Zeichnung der stillschweigend durchgehend eingetragene Kurvenzug ohne Sprung und ohne Knick gerechtfertigt.

 
Zum Zeitpunkt 25 Sekunden bewegt sich das Auto momentan mit ca. 7,6 Metern pro Sekunde, umgerechnet 27 km/h. Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente der Weg-Zeit-Kurve an der entsprechenden Stelle. Weitere detailliertere Erklärungen zu dieser geometrischen Interpretation werden weiter unten gegeben.

Soll hingegen zu einem „perfekt passenden“ Geschwindigkeit-Zeit-Verlauf übergegangen werden, so muss der Terminus „durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Zeitintervall“ durch „Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt“ ersetzt werden. Dazu muss zunächst ein Zeitpunkt   gewählt werden. Die Idee ist nun, „ausgedehnte Zeitintervalle“ in einem Grenzwertprozess gegen ein unendlich kurzes Zeitintervall laufen zu lassen und zu studieren, was mit den betroffenen durchschnittlichen Geschwindigkeiten passiert. Obwohl der Nenner   dabei gegen 0 strebt, ist dies anschaulich kein Problem, da sich das Auto in kürzer werdenden Zeitabschnitten bei stetigem Verlauf immer weniger weit bewegen kann, womit sich Zähler und Nenner gleichzeitig verkleinern, und im Grenzprozess ein unbestimmter Term „ “ entsteht. Dieser kann unter Umständen als Grenzwert Sinn ergeben, beispielsweise drücken

 

exakt dieselben Geschwindigkeiten aus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten beim Studium der Geschwindigkeiten. Entweder, sie lassen in dem betrachteten Grenzwertprozess keine Tendenz erkennen, sich einem bestimmten endlichen Wert anzunähern. In diesem Fall kann der Bewegung des Autos keine zum Zeitpunkt   gültige Geschwindigkeit zugeordnet werden, d. h., der Term „ “ hat hier keinen eindeutigen Sinn. Gibt es hingegen eine zunehmende Stabilisierung in Richtung auf einen festen Wert, so existiert der Grenzwert

 

und drückt die exakt im Zeitpunkt   bestehende Geschwindigkeit aus. Der unbestimmte Term „ “ nimmt in diesem Fall einen eindeutigen Wert an. Die dabei entstehende Momentangeschwindigkeit wird auch als Ableitung von   an der Stelle   bezeichnet; für diese wird häufig das Symbol   benutzt. Mit dem Grenzwert wird die Momentangeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt definiert als

 

Prinzip der Differentialrechnung

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Schaubild der Zeit-Strecke-Funktion   (in Blau). Verstreicht eine Sekunde (in Rot), so nimmt die zurückgelegte Strecke um 2 Meter zu (in Orange). Daher bewegt sich das Auto mit „2 Meter pro Sekunde“. Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung. Das Steigungsdreieck lässt sich beliebig verkleinern, ohne dass sich an der Proportion von Höhe und Grundseite etwas ändert.

Das Beispiel des letzten Abschnitts ist dann besonders einfach, wenn die Zunahme der zurückgelegten Strecke mit der Zeit gleichförmig, also linear verläuft. Dann liegt speziell eine Proportionalität zwischen der Veränderung der Strecke und der Veränderung der Zeit vor. Die relative Veränderung der Strecke, also ihre Zunahme im Verhältnis zur Zunahme der Zeit, ist bei dieser Bewegung immer gleichbleibend. Die mittlere Geschwindigkeit ist zu jedem Zeitpunkt auch die momentane Geschwindigkeit. Beispielsweise legt das Auto zwischen 0 und 1 Sekunden eine gleich lange Strecke zurück wie zwischen 9 und 10 Sekunden und die zehnfache Strecke zwischen 0 und 10 Sekunden. Als Proportionalitätsfaktor über den ganzen Weg gilt die konstante Geschwindigkeit  , wobei sie im nebenstehenden Bild   beträgt. Die zwischen beliebig weit auseinanderliegenden Zeitpunkten   und   zurückgelegte Strecke beträgt

 .

Allgemein bewegt sich das Auto in der Zeitspanne   um die Strecke   vorwärts. Speziell bei   ergibt sich ein Wegstück  .

Falls der Startwert bei   nicht   sondern   beträgt, ändert dies nichts, da sich in der Beziehung   die Konstante   durch die Differenzbildung aus   stets heraussubtrahiert. Auch anschaulich ist dies bekannt: Die Startposition des Autos ist unerheblich für seine Geschwindigkeit.

Werden statt der Variablen   und   allgemein die Variablen   und   betrachtet, so lässt sich also festhalten:

  • Lineare Funktionen: Bei Linearität hat die betrachtete Funktion die Gestalt  . (Für eine lineare Funktion ist nicht notwendig eine Ursprungsgerade erforderlich!) Als Ableitung gilt hieran die relative Veränderung, mit einem anderen Wort der Differenzenquotient  . Sie hat in jedem Punkt denselben Wert  . Die Ableitung lässt sich aus dem Ausdruck   direkt ablesen. Insbesondere hat jede konstante Funktion   die Ableitung  , da sich mit einer Änderung des Eingabewertes nichts am Ausgabewert ändert.

Schwieriger wird es, wenn eine Bewegung nicht gleichförmig verläuft. Dann ist das Diagramm der Zeit-Strecken-Funktion nicht geradlinig. Für derartige Verläufe muss der Ableitungsbegriff erweitert werden. Denn es gibt keinen Proportionalitätsfaktor, der überall die lokale relative Veränderung ausdrückt. Als einzig mögliche Strategie ist die Gewinnung einer linearen Näherung für die nicht-lineare Funktion gefunden worden, zumindest an einer interessierenden Stelle. (Im nächsten Bild ist das die Stelle  .) Damit wird das Problem auf eine wenigstens an dieser Stelle lineare Funktion zurückgeführt. Die Methode der Linearisierung ist die Grundlage für den eigentlichen Kalkül der Differentialrechnung. Sie ist in der Analysis von sehr großer Bedeutung, da sie dabei hilft, komplizierte Vorgänge lokal auf leichter verständliche Vorgänge, nämlich lineare Vorgänge, zu reduzieren.[1]

  0,5 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,5 2
  0,25 0,81 0,9801 0,998001 1 1,002001 1,0201 1,21 2,25 4
  0 0,8 0,98 0,998 1 1,002 1,02 1,2 2 3
  −0,25 −0,01 −0,0001 −0,000001 0 −0,000001 −0,0001 −0,01 −0,25 −1
  50 % 10 % 1 % 0,1 % 0,1 % 1 % 10 % 50 % 100 %
 
Graphische Darstellung der Approximation von   an der Stelle   durch  . Letztere ist die Gleichung der Tangente von   an dieser Stelle.

Die Strategie soll exemplarisch an der nicht-linearen Funktion   erläutert werden.[2] Die Tabelle zeigt Werte für diese Funktion und für ihre Näherungsfunktion an der Stelle  , das ist  . Darunter enthält die Tabelle die Abweichung der Näherung von der ursprünglichen Funktion. (Die Werte sind negativ, weil in diesem Fall die Gerade immer unter der Kurve liegt – außer im Berührpunkt.) In der letzten Zeile steht der Betrag der relativen Abweichung, das ist die Abweichung bezogen auf die Entfernung der Stelle   vom Berührpunkt bei  . Diese kann am Berührpunkt nicht berechnet werden. Aber die Werte in der Umgebung zeigen, wie sich die relative Abweichung einem Grenzwert nähert, hier dem Wert null. Diese Null bedeutet: Selbst wenn sich   ein wenig (infinitesimal) vom Berührpunkt entfernt, entsteht noch kein Unterschied zwischen   und  .

Die lineare Funktion   ahmt das Verhalten von   nahe der Stelle   gut nach (besser als jede andere lineare Funktion). Die relative Veränderung   hat überall den Wert  . Die nicht so einfach zu ermittelnde relative Veränderung   stimmt aber im Berührpunkt mit dem Wert   überein.

Es lässt sich also festhalten:

  • Nicht-lineare Funktionen: Soll die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion in einem bestimmten Punkt ermittelt werden, so wird sie (wenn möglich) dort linear genähert. Die Steigung der linearen Näherungsfunktion ist die an dieser Stelle vorliegende Steigung der betrachteten nicht-linearen Funktion, und es gilt dieselbe Anschauung wie bei Ableitungen linearer Funktionen. Dabei ist nur zu beachten, dass sich die relative Veränderung einer nicht-linearen Funktion von Punkt zu Punkt ändert.
Während im Beispiel oben (Fahrzeugbewegung) für die durchschnittliche Geschwindigkeit die Zeitspanne   angemessen willkürlich gewählt werden kann, ist die momentane Geschwindigkeit, wenn sie veränderlich ist, nur für kleine   angebbar. Wie klein   gewählt werden muss, hängt ab von der Anforderung an die Qualität der Näherung. In mathematischer Perfektion wird sie infinitesimal. Bei dieser wird für die relative Veränderung (wie schon oben angegeben) anstelle des Differenzenquotienten   der Differenzialquotient   geschrieben (in vereinfachter Schreibweise   oder  ).

Die Gewinnung der linearen Näherung einer nicht-linearen Funktion an einer bestimmten Stelle ist zentrale Aufgabe des Kalküls der Differentialrechnung. Bei einer mathematisch angebbaren Funktion (im Beispiel war das  ) sollte sich die Ableitung ausrechnen lassen. Im Idealfall ist diese Berechnung sogar so allgemein, dass sie auf alle Punkte des Definitionsbereichs angewendet werden kann. Im Falle von   besitzt jede Stelle   als beste lineare Näherung die Steigung  . Mit der Zusatzinformation, dass die lineare Funktion mit der Kurve im Punkt   übereinstimmen muss, kann dann die vollständige Funktionsgleichung der linearen Näherungsfunktion aufgestellt werden.

Der Ansatz zur Bestimmung des Differentialquotienten liegt in der Berechnung des Grenzwerts (wie oben bei der momentanen Geschwindigkeit):

  oder in anderer Schreibweise  

Bei einigen elementaren Funktionen wie Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion oder Sinusfunktion ist jeweils der Grenzwertprozess durchgeführt worden. Dabei ergibt sich jeweils eine Ableitungsfunktion. Darauf aufbauend sind Ableitungsregeln für die elementaren und auch für weitere Funktionen wie Summen, Produkte oder Verkettungen elementarer Funktionen aufgestellt worden.

Damit werden die Grenzübergänge nicht in jeder Anwendung neu vollzogen, sondern für die Rechenpraxis werden Ableitungsregeln angewendet. Die „Kunst“ der Differentialrechnung besteht „nur“ darin, kompliziertere Funktionen zu strukturieren und auf die Strukturelemente die jeweils zutreffende Ableitungsregel anzuwenden. Ein Beispiel folgt weiter hinten.

Berechnung von Grenzwerten

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Jeder Differenzialquotient an einer vorgesehenen Stelle erscheint als unbestimmter Ausdruck vom Typ „ “. Zu seiner Berechnung wird vom Differenzenquotient ausgegangen, und dessen Verhalten in der Umgebung der vorgesehenen Stelle wird untersucht, ob er die Tendenz hat, einen bestimmten Wert anzunehmen. Einige Grenzwerte, die für Ableitungsregeln benötigt werden, werden nachfolgend hergeleitet. Selbstverständlich dürfen dazu keine Regeln der Differenzialrechnung verwendet werden, da diese erst nach der Kenntnis der Grenzwerte aufgestellt werden können.

Ein einfacher Fall 1  

Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient für die vorgesehene Funktion.

 

Wird die binomische Formel   eingesetzt, so kürzt sich ein Summand heraus.

 

Für   ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für   (dann und nur dann!) können Zähler und Nenner durch   dividiert werden.

 

Für jedes   ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert   nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

 

Im Weiteren werden hier nur Grenzwerte berechnet, und ihre Einsetzung in Differenzenquotienten erfolgt weiter hinten im Abschnitt Ableitungsberechnung.

 
Veranschaulichung zur Grenzwertableitung am Einheitskreis
Fall 2  

Für   ist dieser Bruch unbestimmt. Zur Berechnung bei   wird die Fläche eines Kreissektors mit dem Bogen   verglichen mit den Flächen eines innen liegenden und eines außen liegenden Dreiecks gemäß der Zeichnung. Im gezeigten Quadranten gilt offensichtlich[3]

 

Bei   kann diese Ungleichung mit   multipliziert werden.

 

Für   streben sowohl der linke als auch der rechte Ausdruck gegen eins. Damit muss auch der dazwischen liegende Ausdruck gegen eins streben. Für seinen Kehrwert gilt das ebenfalls. Für   strebt er im Grenzübergang nach

 
Zwischenüberlegung  

Der Logarithmus dieses Ausdrucks, das ist  , strebt für   gegen „ “. Dieser Logarithmus ist dort unbestimmt und damit auch der Ausdruck selber. Es ist aber bewiesen, dass

 

einen bestimmten endlichen Wert annimmt, der als Eulersche Zahl   bezeichnet wird. Dieses wird unter dem verlinkten Stichwort behandelt und hier als bekannt vorausgesetzt.

Fall 3  

Für   ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für   und   ist die Substitution[4]

 ,  

zulässig. Aufgelöst nach   unter Verwendung des natürlichen Logarithmus ergibt das

 
 

Für   streben   und der Nenner gegen  . Für jedes   ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert   nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

 

Als Voraussetzung für diese Herleitung muss   positiv sein. Für   ist dieses erfüllt mit negativem  . Nähert man sich bei   dem Wert   von der Seite   her, so gilt derselbe Grenzübergang.

Fall 4  

Für   ist dieser Bruch unbestimmt. Aber für   ist die Substitution   zulässig.[5]

 

Für   strebt  . Für jedes   ist dieser Ausdruck bestimmt, auch wenn man dem Wert   nahe kommt. Er strebt im Grenzübergang nach

 

Einordnung der Anwendungsmöglichkeiten

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Extremwertprobleme

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Eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht darin, dass mit Hilfe der Ableitung lokale Extremwerte einer Kurve bestimmt werden können. Anstatt also anhand einer Wertetabelle mechanisch nach Hoch- oder Tiefpunkten suchen zu müssen, liefert der Kalkül in einigen Fällen eine direkte Antwort. Liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor, so besitzt die Kurve an dieser Stelle keinen „echten“ Anstieg, weshalb die optimale Linearisierung eine Steigung von 0 besitzt. Für die genaue Klassifizierung eines Extremwertes sind jedoch weitere lokale Daten der Kurve notwendig, denn eine Steigung von 0 ist nicht hinreichend für die Existenz eines Extremwertes (geschweige denn eines Hoch- oder Tiefpunktes).

In der Praxis treten Extremwertprobleme typischerweise dann auf, wenn Prozesse, zum Beispiel in der Wirtschaft, optimiert werden sollen. Oft liegen an den Randwerten jeweils ungünstige Ergebnisse, in Richtung „Mitte“ kommt es aber zu einer stetigen Steigerung, die dann irgendwo maximal werden muss. Zum Beispiel die optimale Wahl eines Verkaufspreises: Bei einem zu geringen Preis ist die Nachfrage nach einem Produkt zwar sehr groß, aber die Produktion kann nicht finanziert werden. Ist er andererseits zu hoch, so wird es im Extremfall gar nicht mehr gekauft. Daher liegt ein Optimum irgendwo „in der Mitte“. Voraussetzung dabei ist, dass der Zusammenhang in Form einer (stetig) differenzierbaren Funktion wiedergegeben werden kann.

Die Untersuchung einer Funktion auf Extremstellen ist Teil einer Kurvendiskussion. Die mathematischen Hintergründe sind im Abschnitt Anwendung höherer Ableitungen bereitgestellt.

Mathematische Modellierung

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In der mathematischen Modellierung sollen komplexe Probleme in mathematischer Sprache erfasst und analysiert werden. Je nach Fragestellung sind das Untersuchen von Korrelationen oder Kausalitäten oder auch das Geben von Prognosen im Rahmen dieses Modells zielführend.

Besonders im Umfeld sog. Differentialgleichungen ist die Differentialrechnung zentrales Werkzeug bei der Modellierung. Diese Gleichungen treten zum Beispiel auf, wenn es eine kausale Beziehung zwischen dem Bestand einer Größe und deren zeitlicher Veränderung gibt. Ein alltägliches Beispiel könnte sein:

Je mehr Einwohner eine Stadt besitzt, desto mehr Leute wollen dort hinziehen.

Etwas konkreter könnte dies zum Beispiel heißen, dass bei   jetzigen Einwohnern durchschnittlich   Personen in den kommenden 10 Jahren zuziehen werden, bei   Einwohnern durchschnittlich   Personen in den kommenden 10 Jahren usw. – um nicht alle Zahlen einzeln ausführen zu müssen: Leben   Personen in der Stadt, so wollen so viele Menschen hinzuziehen, dass nach 10 Jahren weitere   hinzukommen würden. Besteht eine derartige Kausalität zwischen Bestand und zeitlicher Veränderung, so kann gefragt werden, ob aus diesen Daten eine Prognose für die Einwohnerzahl nach 10 Jahren abgeleitet werden kann, wenn die Stadt im Jahr 2020 zum Beispiel   Einwohner hatte. Es wäre dabei falsch zu glauben, dass dies   sein werden, da sich mit steigender Einwohnerzahl auch die Nachfrage nach Wohnraum wiederum zunehmend steigern wird. Der Knackpunkt zum Verständnis des Zusammenhangs ist demnach erneut dessen Lokalität: Besitzt die Stadt   Einwohner, so wollen zu diesem Zeitpunkt   Menschen pro 10 Jahre hinzuziehen. Aber einen kurzen Augenblick später, wenn weitere Menschen hinzugezogen sind, sieht die Lage wieder anders aus. Wird dieses Phänomen zeitlich beliebig engmaschig gedacht, ergibt sich ein „differentieller“ Zusammenhang. Allerdings eignet sich die kontinuierliche Herangehensweise in vielen Fällen auch bei diskreten Problemstellungen.[6]

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann aus so einem kausalen Zusammenhang zwischen Bestand und Veränderung in vielen Fällen ein Modell hergeleitet werden, was den komplexen Zusammenhang auflöst, und zwar in dem Sinne, dass zum Schluss eine Bestandsfunktion explizit angegeben werden kann. Setzt man in diese Funktion dann zum Beispiel den Wert 10 Jahre ein, so ergibt sich eine Prognose für die Stadtbewohneranzahl im Jahr 2030. Im Falle oberen Modells wird eine Bestandsfunktion   gesucht mit  ,   in 10 Jahren, und  . Die Lösung ist dann

 

mit der natürlichen Exponentialfunktion (natürlich bedeutet, dass der Proportionalitätsfaktor zwischen Bestand und Veränderung einfach gleich 1 ist) und für das Jahr 2030 lautet die geschätzte Prognose   Mio. Einwohner. Die Proportionalität zwischen Bestand und Veränderungsrate führt also zu exponentiellem Wachstum und ist klassisches Beispiel eines selbstverstärkenden Effektes. Analoge Modelle funktionieren beim Populationswachstum (Je mehr Individuen, desto mehr Geburten) oder der Verbreitung einer ansteckenden Krankheit (Je mehr Erkrankte, desto mehr Ansteckungen). In vielen Fällen stoßen diese Modelle jedoch an eine Grenze, wenn sich der Prozess aufgrund natürlicher Beschränkungen (wie eine Obergrenze der Gesamtbevölkerung) nicht beliebig fortsetzen lässt. In diesen Fällen sind ähnliche Modelle, wie das logistische Wachstum, geeigneter.[7]

Numerische Verfahren

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Die Eigenschaft einer Funktion, differenzierbar zu sein, ist bei vielen Anwendungen von Vorteil, da dies der Funktion mehr Struktur verleiht. Ein Beispiel ist das Lösen von Gleichungen. Bei einigen mathematischen Anwendungen ist es notwendig, den Wert einer (oder mehrerer) Unbekannten   zu finden, die Nullstelle einer Funktion   ist. Es ist dann  . Je nach Beschaffenheit von   können Strategien entwickelt werden, eine Nullstelle zumindest näherungsweise anzugeben, was in der Praxis meist vollkommen ausreicht. Ist   in jedem Punkt differenzierbar mit Ableitung  , so kann in vielen Fällen das Newton-Verfahren helfen. Bei diesem spielt die Differentialrechnung insofern eine direkte Rolle, als beim schrittweisen Vorgehen immer wieder eine Ableitung explizit berechnet werden muss.[8]

Ein weiterer Vorteil der Differentialrechnung ist, dass in vielen Fällen komplizierte Funktionen, wie Wurzeln oder auch Sinus und Kosinus, anhand einfacher Rechenregeln wie Addition und Multiplikation gut angenähert werden können. Ist die Funktion an einem benachbarten Wert leicht auszuwerten, ist dies von großem Nutzen. Wird zum Beispiel nach einem Näherungswert für die Zahl   gesucht, so liefert die Differentialrechnung für   die Linearisierung

 

denn es gilt nachweislich  . Sowohl Funktion als auch erste Ableitung konnten an der Stelle   gut berechnet werden, weil es sich dabei um eine Quadratzahl handelt. Einsetzen von   ergibt  , was mit dem exakten Ergebnis   bis auf einen Fehler kleiner als   übereinstimmt.[9] Unter Einbezug höherer Ableitungen kann die Genauigkeit solcher Approximationen zusätzlich gesteigert werden, da dann nicht nur linear, sondern quadratisch, kubisch usw. angenähert wird, siehe auch Taylor-Reihe.

Reine Mathematik

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Tangentialebene, platziert an einem Punkt einer Kugeloberfläche

Auch in der reinen Mathematik spielt die Differentialrechnung als ein Kern der Analysis eine bedeutende Rolle. Ein Beispiel ist die Differentialgeometrie, die sich mit Figuren beschäftigt, die eine differenzierbare Oberfläche (ohne Knicke usw.) haben. Zum Beispiel kann auf eine Kugeloberfläche in jedem Punkt tangential eine Ebene platziert werden. Anschaulich: Steht man an einem Erdpunkt, so hat man das Gefühl, die Erde sei flach, wenn man seinen Blick in der Tangentialebene schweifen lässt. In Wahrheit ist die Erde jedoch nur lokal flach: Die angelegte Ebene dient der (durch Linearisierung) vereinfachten Darstellung der komplizierteren Krümmung. Global hat sie als Kugeloberfläche eine völlig andere Gestalt.

Die Methoden der Differentialgeometrie sind äußerst bedeutend für die theoretische Physik. So können Phänomene wie Krümmung oder Raumzeit über Methoden der Differentialrechnung beschrieben werden. Auch die Frage, was der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Fläche (zum Beispiel der Erdoberfläche) ist, kann mit diesen Techniken formuliert und oft auch beantwortet werden.

Auch bei der Erforschung von Zahlen als solchen, also im Rahmen der Zahlentheorie, hat sich die Differentialrechnung in der analytischen Zahlentheorie bewährt. Die grundlegende Idee der analytischen Zahlentheorie ist die Umwandlung von bestimmten Zahlen, über die man etwas lernen möchte, in Funktionen. Haben diese Funktionen „gute Eigenschaften“ wie etwa Differenzierbarkeit, so hofft man, über die damit einhergehenden Strukturen Rückschlüsse auf die ursprünglichen Zahlen ziehen zu können. Es hat sich dabei häufig bewährt, zur Perfektionierung der Analysis von den reellen zu den komplexen Zahlen überzugehen (siehe auch komplexe Analysis), also die Funktionen über einem größeren Zahlenbereich zu studieren. Ein Beispiel ist die Analyse der Fibonacci-Zahlen  , deren Bildungsgesetz vorschreibt, dass eine neue Zahl stets aus der Summe der beiden vorangehenden entstehen soll. Ansatz der analytischen Zahlentheorie ist die Bildung der erzeugenden Funktion

 

also eines „unendlich langen“ Polynoms (einer sog. Potenzreihe), dessen Koeffizienten genau die Fibonacci-Zahlen sind. Für hinreichend kleine Zahlen   ist dieser Ausdruck sinnvoll, weil die Potenzen   dann viel schneller gegen 0 gehen als die Fibonacci-Zahlen gegen Unendlich, womit sich langfristig alles bei einem endlichen Wert einpendelt. Es ist für diese Werte möglich, die Funktion   explizit zu berechnen durch

 

Das Nennerpolynom   „spiegelt“ dabei genau das Verhalten   der Fibonacci-Zahlen   „wider“ – es ergibt sich in der Tat   durch termweises Verrechnen. Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich andererseits zeigen, dass die Funktion   ausreicht, um die Fibonacci-Zahlen (ihre Koeffizienten) eindeutig zu charakterisieren. Da es sich aber um eine schlichte rationale Funktion handelt, lässt sich dadurch die für jede Fibonacci-Zahl   gültige exakte Formel

 

mit dem goldenen Schnitt   herleiten, wenn   und   gesetzt wird. Die exakte Formel vermag eine Fibonacci-Zahl zu berechnen, ohne die vorherigen zu kennen. Der Schluss wird über einen sog. Koeffizientenvergleich gezogen und nutzt aus, dass das Polynom   als Nullstellen   und   besitzt.[10]

Der höherdimensionale Fall

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Die Differentialrechnung kann auf den Fall „höherdimensionaler Funktionen“ verallgemeinert werden. Damit ist gemeint, dass sowohl Eingabe- als auch Ausgabewerte der Funktion nicht bloß Teil des eindimensionalen reellen Zahlenstrahls, sondern auch Punkte eines höherdimensionalen Raums sind. Ein Beispiel ist die Vorschrift

 

zwischen jeweils zweidimensionalen Räumen. Das Funktionsverständnis als Tabelle bleibt hier identisch, nur dass diese mit „vier Spalten“   „deutlich mehr“ Einträge besitzt. Auch mehrdimensionale Abbildungen können in manchen Fällen an einem Punkt linearisiert werden. Allerdings ist dabei nun angemessen zu beachten, dass es sowohl mehrere Eingabedimensionen als auch mehrere Ausgabedimensionen geben kann: Der korrekte Verallgemeinerungsweg liegt darin, dass die Linearisierung in jeder Komponente der Ausgabe jede Variable auf lineare Weise berücksichtigt. Das zieht für obere Beispielfunktion eine Approximation der Form

 

nach sich. Diese ahmt dann die gesamte Funktion in der Nähe der Eingabe   sehr gut nach.[11] In jeder Komponente wird demnach für jede Variable eine „Steigung“ angegeben – diese wird dann das lokale Verhalten der Komponentenfunktion bei kleiner Änderung in dieser Variablen messen. Diese Steigung wird auch als partielle Ableitung bezeichnet.[12] Die korrekten konstanten Abschnitte   berechnen sich exemplarisch durch   bzw.  . Wie auch im eindimensionalen Fall hängen die Steigungen (hier  ) stark von der Wahl des Punktes (hier  ) ab, an dem abgeleitet wird. Die Ableitung ist demnach keine Zahl mehr, sondern ein Verband aus mehreren Zahlen – in diesem Beispiel sind es vier – und diese Zahlen sind im Regelfall bei allen Eingaben unterschiedlich. Es wird allgemein für die Ableitung auch

 

geschrieben, womit alle „Steigungen“ in einer sog. Matrix versammelt sind. Man bezeichnet diesen Term auch als Jacobi-Matrix oder Funktionalmatrix.[13]

Beispiel: Wird oben   gesetzt, so kann man zeigen, dass folgende lineare Approximation bei sehr kleinen Änderungen von   und   sehr gut ist:

 

Zum Beispiel gilt

 

und

 

Hat man im ganz allgemeinen Fall   Variablen und   Ausgabekomponenten, so gibt es kombinatorisch gesehen insgesamt   „Steigungen“, also partielle Ableitungen. Im klassischen Fall   gibt es wegen   eine Steigung   und im oberen Beispiel   sind es   „Steigungen“.[14]

Geschichte

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Gottfried Wilhelm Leibniz
 
Isaac Newton

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung bildete sich als Tangentenproblem ab dem 17. Jahrhundert heraus. Hierunter versteht man die Aufgabe, bei einer beliebigen Kurve in einem beliebigen Punkt die Tangente zu bestimmen.[15] Ein naheliegender Lösungsansatz bestand darin, die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als null), aber beliebig kleinen Intervall zu approximieren. Dabei war die technische Schwierigkeit zu überwinden, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. Die ersten Anfänge der Differentialrechnung gehen auf Pierre de Fermat zurück. Er entwickelte um 1628 eine Methode, Extremstellen algebraischer Terme zu bestimmen und Tangenten an Kegelschnitte und andere Kurven zu berechnen. Seine „Methode“ war rein algebraisch. Fermat betrachtete keine Grenzübergänge und schon gar keine Ableitungen. Gleichwohl lässt sich seine „Methode“ mit modernen Mitteln der Analysis interpretieren und rechtfertigen, und sie hat Mathematiker wie Newton und Leibniz nachweislich inspiriert. Einige Jahre später wählte René Descartes einen anderen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei nahe beieinanderliegenden Punkten; es sei denn, er berührt die Kurve. Dieser Ansatz ermöglichte es ihm, für spezielle Kurven die Steigung der Tangente zu bestimmen.[16]

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz mit unterschiedlichen Ansätzen unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln. Während Newton das Problem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging,[17] löste es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem. Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes[18] des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Darin heißt es:

„Die Reichweite dieses Kalküls ist unermesslich: Er lässt sich sowohl auf mechanische als auch geometrische Kurven anwenden; Wurzelzeichen bereiten ihm keine Schwierigkeiten und sind oftmals sogar angenehm im Umgang; er lässt sich auf so viele Variablen erweitern, wie man sich nur wünschen kann; der Vergleich unendlich kleiner Größen aller Art gelingt mühelos. Und er erlaubt eine unendliche Zahl an überraschenden Entdeckungen über gekrümmte wie geradlinige Tangenten, Fragen De maximis & minimis, Wendepunkte und Spitzen von Kurven, Evoluten, Spiegelungs- und Brechungskaustiken, &c. wie wir in diesem Buch sehen werden.“[19]

Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonhard Euler, der den Funktionsbegriff prägte.

Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen positiven Zahlen.[20] Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von George Berkeley in der polemischen Schrift The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician.[21] Erst in den 1960ern konnte Abraham Robinson diese Verwendung infinitesimaler Größen mit der Entwicklung der Nichtstandardanalysis auf ein mathematisch-axiomatisch sicheres Fundament stellen. Trotz der herrschenden Unsicherheit wurde die Differentialrechnung aber konsequent weiterentwickelt, in erster Linie wegen ihrer zahlreichen Anwendungen in der Physik und in anderen Gebieten der Mathematik. Symptomatisch für die damalige Zeit war das von der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1784 veröffentlichte Preisausschreiben:

„… Die höhere Geometrie benutzt häufig unendlich große und unendlich kleine Größen; jedoch haben die alten Gelehrten das Unendliche sorgfältig vermieden, und einige berühmte Analysten unserer Zeit bekennen, dass die Wörter unendliche Größe widerspruchsvoll sind. Die Akademie verlangt also, dass man erkläre, wie aus einer widersprechenden Annahme so viele richtige Sätze entstanden sind, und dass man einen sicheren und klaren Grundbegriff angebe, welcher das Unendliche ersetzen dürfte, ohne die Rechnung zu schwierig oder zu lang zu machen …“[22]

Erst zum Anfang des 19. Jahrhunderts gelang es Augustin-Louis Cauchy, der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge zu geben, indem er von den infinitesimalen Größen abging und die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen (Differenzenquotienten) definierte.[23] Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß im Jahr 1861 formuliert.[24]

Definition

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Sekanten- und Tangentensteigung

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Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion   in einem Punkt  . Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an   über einem endlichen Intervall   der Länge  :

Sekantensteigung =  .

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation   für   kann man die Sekantensteigung abgekürzt als   schreiben. Der Ausdruck   verdeutlicht also die beliebig klein werdende Differenz zwischen der Stelle, an der abgeleitet werden soll, und einem benachbarten Punkt. In der Literatur wird jedoch, wie auch im Folgenden, in vielen Fällen aus Gründen der Einfachheit das Symbol   statt   verwendet.

 

Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl   als auch   gegen Null. Der Quotient   bleibt aber in vielen Fällen endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition.

Differenzierbarkeit

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Definition der Ableitung über die h-Methode: Zu den jeweiligen h-Werten sind die dazugehörigen Sekanten eingezeichnet. Für   geht die Sekante in die Tangente und somit die Sekantensteigung (Differenzenquotient) in die Tangentensteigung (Ableitung) über.
 
Die Sekantensteigungen gehen für   in die Steigung der Tangente (und damit in die Ableitung) an der Stelle   über. Es gilt  .

Eine Funktion  , die ein offenes Intervall   in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle  , falls der Grenzwert

    (mit  )

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von   nach   an der Stelle   und wird als

    oder       oder       oder    

notiert.[25][26] Gesprochen werden diese Notationen als „f Strich von x null“, „d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null“, „d f nach d x von x null“ respektive „d nach d x von f von x null“. Im später folgenden Abschnitt Notationen werden noch weitere Varianten angeführt, um die Ableitung einer Funktion zu notieren.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat: Eine Funktion heißt an einer Stelle   differenzierbar, falls eine Konstante   existiert, sodass

 

Der Zuwachs der Funktion  , wenn man sich von   nur wenig entfernt, etwa um den Wert  , lässt sich also durch   sehr gut approximieren. Man nennt deshalb die lineare Funktion  , für die also   für alle   gilt, auch die Linearisierung von   an der Stelle  .[27]

Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle   stetige Funktion   mit   und eine Konstante  , sodass für alle   gilt

 .

Die Bedingungen   und dass   an der Stelle   stetig ist, bedeuten gerade, dass das „Restglied“   für   gegen   gegen   konvergiert.[27]

In beiden Fällen ist die Konstante   eindeutig bestimmt und es gilt  . Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Karl Weierstraß, Henri Cartan und Jean Dieudonné konsequent angewandt und wird auch Weierstraßsche Zerlegungsformel genannt.

Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.

Jede differenzierbare Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt jedoch nicht.[27] Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die später Bolzanofunktion genannt wurde, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige Funktion (siehe Weierstraß-Funktion), was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes mehrdimensionales Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.[28]

Ableitungsfunktion

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Die Ableitung an verschiedenen Stellen einer differenzierbaren Funktion

Die Ableitung der Funktion   an der Stelle  , bezeichnet mit  , beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle  . In einigen Fällen ist es möglich, an jedem Punkt des Funktionsgraphen eine Linearisierung vorzunehmen. Dies erlaubt die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung)  , die jedem Element des Definitionsbereichs   der Ausgangsfunktion   die Steigung der dortigen Linearisierung zuordnet. Man sagt in diesem Falle, „  ist in   differenzierbar“.[29]

Beispielsweise hat die Quadratfunktion   mit   an einer beliebigen Stelle   die Ableitung   die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion   ist gegeben durch   mit  .

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere Funktion als die ursprünglich betrachtete. Einzige Ausnahme sind die Vielfachen   der natürlichen Exponentialfunktion mit beliebigem   – unter denen, wie die Wahl   zeigt, auch alle Funktionen   mit beliebigem   enthalten sind (deren Graph aus dem der Exponentialfunktion   durch „seitliche“ Verschiebung um   entsteht und zu diesem daher kongruent ist).

Ist die Ableitung stetig, dann heißt   stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung   für die Gesamtheit (den Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge   wird der Raum der auf   stetig differenzierbaren Funktionen mit   abgekürzt.[30]

Notationen

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Geschichtlich bedingt gibt es unterschiedliche Notationen, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

Lagrange-Notation

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In diesem Artikel wurde bisher hauptsächlich die Notation   für die Ableitung von   verwendet. Diese Notation geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte.[31] Bei dieser Notation wird die zweite Ableitung von   mit   und die  -te Ableitung mittels   bezeichnet.

Newton-Notation

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Isaac Newton – neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung – notierte die erste Ableitung von   mit  , entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch  .[32] Heutzutage wird diese Schreibweise häufig in der Physik, insbesondere in der Mechanik, für die Ableitung nach der Zeit verwendet.[33]

Leibniz-Notation

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Gottfried Wilhelm Leibniz führte für die erste Ableitung von   (nach der Variablen  ) die Notation   ein.[34] Gelesen wird dieser Ausdruck als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz   und die  -te Ableitung wird mittels   bezeichnet.[35] Bei der Schreibweise von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch. Die Symbole   und   werden „Differentiale“ genannt, haben aber in der modernen Differentialrechnung (abgesehen von der Theorie der Differentialformen) lediglich eine symbolische Bedeutung und sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen aber so, als wären sie gewöhnliche Terme.

Euler-Notation

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Die Notation   oder   für die erste Ableitung von   geht auf Leonhard Euler zurück. Dabei wird die Ableitung als Operator – also als eine besondere Funktion, die selbst auf Funktionen arbeitet, aufgefasst. Diese Idee geht auf den Mathematiker Louis François Antoine Arbogast zurück. Die zweite Ableitung wird in dieser Notation mittels   oder   und die  -te Ableitung durch   oder   dargestellt.[36]

Ableitungsberechnung

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Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation oder Differenziation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B.  ,  , …) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann   gegen Null gehen. Dieses Verfahren ist jedoch meistens umständlich. Bei der Lehre der Differentialrechnung wird diese Art der Rechnung daher nur wenige Male vollzogen. Später greift man auf bereits bekannte Ableitungsfunktionen zurück oder schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk nach (z. B. im Bronstein-Semendjajew, siehe auch Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) und berechnet die Ableitung zusammengesetzter Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln.

Ableitungen elementarer Funktionen

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Für die Berechnung der Ableitungsfunktion einer elementaren Funktion an einer vorgesehenen Stelle   wird der zugehörige Differenzenquotient gebildet, der in der Umgebung   mit   gültig ist, und dann wird der Grenzübergang   vollzogen.

Natürliche Potenzen

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Der Fall   ist bereits weiter oben behandelt worden. Der zugehörige Differenzenquotient ergibt sich zu

 

Wenn   ist, lässt sich   kürzen,

 

und die Annäherung   führt auf

 

Allgemein für eine natürliche Zahl   mit   wird der binomische Lehrsatz herangezogen:

 
 

Wenn   für alle endlichen Werte von   endlich ist, ist auch   endlich. Der in der letzten Gleichung vor   stehende Faktor   führt auf  . Damit entsteht

 

Zwei Ergänzungen:

  1. Ein konstanter Summand   in   kürzt sich in   heraus, noch bevor der Grenzübergang vollzogen wird.
  2. Ein konstanter Faktor   in   kann in   ausgeklammert und vor den Bruch gezogen werden.

Exponentialfunktion

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Graph der Exponentialfunktion   (rot) mit der Tangente (der hellblau gestrichelten Linie) durch den Punkt (0,1)

Mit der Exponentialfunktion   ergibt sich der Differenzenquotient

 

Für jedes   gilt

 

Damit kann im Zähler   ausgeklammert werden.

 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 

entsteht

 

Darin ist   der natürliche Logarithmus von  . Speziell für die Eulersche Zahl   ist  . Damit entsteht die auszeichnende Zusatzeigenschaft

 

Logarithmus

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Mit der Logarithmusfunktion   zur Basis   ergibt sich der Differenzenquotient

 
Der Logarithmus von   (hier der natürliche Logarithmus  ) existiert nur bei  
 

Für jedes   gilt

 
 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 

und mit der Basisumrechnung   entsteht

 

Dieses existiert nur für  . Für   existiert die Funktion  .[37] Mit der Substitution   und der Kettenregel ergibt ihre Ableitung

 

Beide Ableitungen können zusammengefasst werden für   zu

 

Speziell für den natürlichen Logarithmus gilt

 

Sinus und Kosinus

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Mit der Sinusfunktion   ergibt sich der Differenzenquotient

 

Mit dem Additionstheorem

 

gilt

 

Mit dem oben hergeleiteten Grenzübergang

 

und mit   entsteht

 

Für die Kosinusfunktion führt eine entsprechende Rechnung mit

 

auf  

 

Weitere elementare Funktionen

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Mit den vorstehenden Ableitungen können Ableitungsfunktionen für weitere Funktionen aufgestellt werden. Dazu werden zusätzlich die Ableitungsregeln für die Grundrechenarten, die Kettenregel und die Umkehrregel benötigt.

Allgemeine Potenzen

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Die Funktion   ist bisher nur für   als natürliche Zahl abgeleitet worden. Die Anwendbarkeit der zugehörigen Ableitungsregel lässt sich bei   auf reelle Exponenten erweitern. Mit der Substitution[38]

 

ist  

Wird dieses mit der Kettenregel differenziert, so entsteht das bekannte Ergebnis:

 

Eine Anwendung ist die Ableitung der Wurzelfunktion. Für   gilt mit  

 

Der Fall   betrifft die Quadratwurzel:

Für   gilt  

Tangens und Kotangens

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Mit Hilfe der Quotientenregel und den Ableitungsfunktionen für Sinus und Kosinus können auch die Ableitungsfunktionen für Tangens und Kotangens aufgestellt werden. Es gilt

 

Dabei wurde die als „Trigonometrischer Pythagoras“ bezeichnete Formel   verwendet. Ebenso wird gewonnen

 

Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus und Arkuskosinus sind als Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus definiert. Die Ableitungen werden mittels der Umkehrregel berechnet. Setzt man  , so folgt im Bereich  

 

Für den Arkuskosinus ergibt sich mit   ebenso

 

Arkustangens und Arkuskotangens

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Arkustangens und Arkuskotangens sind als Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens definiert. Setzt man  , so folgt mittels der Umkehrregel

 

Für den Arkuskotangens ergibt sich mit   ebenso

 

Zusammengesetzte Funktion

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Zusammengesetzte Funktionen lassen sich so weit strukturieren, bis sich zu jedem Strukturelement die jeweils zutreffende elementare Ableitungsregel finden lässt. Dazu gibt es die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Da diese in eigenen Artikeln erläutert werden, wird hier nur ein Beispiel vorgestellt.

 
  mit     ist ableitbar nach   als Potenz  
  mit     ist ableitbar nach   als Summe mit einer Konstanten  
  mit     ist ableitbar nach   als trigonometrische Funktion  
    ist ableitbar nach   als Potenz mit konstantem Faktor    

Nach der Kettenregel ergibt sich

 

Zusammenfassung

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Hier werden die Ableitungsregeln elementarer und zusammengesetzter Funktionen zusammengefasst. Eine ausführliche Liste findet sich unter Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen.

    Anmerkung
    Elementares
    konstanter Faktor bleibt erhalten
    konstanter Summand verschwindet
    Potenzfunktion
    Exponentialfunktion
   
    Logarithmusfunktion
   
    Trigonometrische Funktionen
   
   
   
   
   
   
   
    Hyperbelfunktionen
   
   
   
   
   
   
   
    Summenregel
    Produktregel
    Quotientenregel
   
oder  
Kettenregel
mit  
   
oder  
Umkehrregel
mit   oder nach   aufgelöst
 

Höhere Ableitungen

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Ist die Ableitung   einer Funktion   wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von   als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einmal differenzierbar, zweimal differenzierbar etc. sein.

Ist die erste Ableitung eines Weges nach der Zeit eine Geschwindigkeit, so kann die zweite Ableitung als Beschleunigung und die dritte Ableitung als Ruck interpretiert werden.

Wenn Politiker sich über den „Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl“ äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Höhere Ableitungen können auf verschiedene Weisen geschrieben werden:

 

oder im physikalischen Fall (bei einer Ableitung nach der Zeit)

 

Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen   legt man außerdem   und   fest.

Höhere Differentialoperatoren

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Ist   eine natürliche Zahl und   offen, so wird der Raum der in    -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit   bezeichnet. Der Differentialoperator   induziert damit eine Kette von linearen Abbildungen

 

und damit allgemein für  :

 

Dabei bezeichnet   den Raum der in   stetigen Funktionen. Exemplarisch: Wird ein   durch Anwenden von   einmal abgeleitet, kann das Ergebnis   im Allgemeinen nur noch  -mal abgeleitet werden usw. Jeder Raum   ist eine  -Algebra, da nach der Summen- bzw. der Produktregel Summen und auch Produkte von  -mal stetig differenzierbaren Funktionen wieder  -mal stetig differenzierbar sind. Es gilt zudem die aufsteigende Kette von echten Inklusionen

 

denn offenbar ist jede mindestens  -mal stetig differenzierbare Funktion auch  -mal stetig differenzierbar usw., jedoch zeigen die Funktionen

 

exemplarisch Beispiele für Funktionen aus  , wenn – was ohne Beschränkung der Allgemeinheit möglich ist –   angenommen wird.[39]

Höhere Ableitungsregeln

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Leibnizsche Regel

Die Ableitung  -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei  -mal differenzierbaren Funktionen   und   ergibt sich aus

 .

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form   sind Binomialkoeffizienten. Die Formel ist eine Verallgemeinerung der Produktregel.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der  -ten Ableitung der Komposition zweier  -mal differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Taylorformeln mit Restglied

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Ist   eine in einem Intervall    -mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt für alle   und   aus   die sogenannte Taylorformel:

 

mit dem  -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle  

 

und dem  -ten Restglied

 

mit einem  .[40] Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylorformel zur Taylorreihe von   mit Entwicklungspunkt   erweitert werden:

 

Es ist jedoch nicht jede glatte Funktion durch ihre Taylorreihe darstellbar, siehe unten.

Glatte Funktionen