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KontextBearbeiten

Es sei  

  • eine offene Teilmenge des  
  • oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des  
  • oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

  • den Begriff der differenzierbaren Funktion auf  ; der Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf   werde mit   bezeichnet;
  • den Begriff des Tangentialraums   an   in einem Punkt  ;
  • den Begriff der Richtungsableitung   für einen Tangentialvektor   und eine differenzierbare Funktion  ;
  • den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf  . Der Raum der Vektorfelder auf   sei mit   bezeichnet.

Elementare DefinitionBearbeiten

Eine pfaffsche Form   auf   ordnet jedem Punkt   eine Linearform   zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes   des Tangentialraumes  . Der Raum   wird Kotangentialraum genannt.

Eine pfaffsche Form   ist also eine Abbildung

 

Andere DefinitionenBearbeiten

  • Eine differenzierbare pfaffsche Form ist eine  -lineare Abbildung   Stetige oder messbare pfaffsche Formen sind analog definiert.
  • Die oben gegebene Menge   wird als Kotangentialbündel bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale Vektorbündel des Tangentialbündels. Eine pfaffsche Form kann damit als Schnitt des Kotangentialbündels definiert werden.
  • Die pfaffschen Formen sind genau die kovarianten Tensorfelder erster Stufe.

Totales Differential einer FunktionBearbeiten

Das totale Differential oder die äußere Ableitung   einer differenzierbaren Funktion   ist die pfaffsche Form, die folgendermaßen definiert ist: Ist   ein Tangentialvektor, so ist:   also gleich der Richtungsableitung von   in Richtung  .

Ist also   ein Weg mit   und  , so ist

 

Es gilt:

  •   falls   eine konstante Funktion ist;
  •   für differenzierbare Funktionen  .

Ist auf   ein Skalarprodukt   gegeben, so lässt sich das totale Differential von   mit Hilfe des Gradienten darstellen:

 

KoordinatendarstellungBearbeiten

Es sei   ein Koordinatensystem auf  . Die Koordinaten können als Funktionen

 

aufgefasst werden, die einem Punkt seine  -te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale   dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt   ist

 

eine Basis von  .

Damit lässt sich jede pfaffsche Form auf eindeutige Weise als

 

mit Funktionen   schreiben.

Die äußere Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion   hat die Darstellung

 

Definition des KurvenintegralsBearbeiten

Es sei   ein stetig differenzierbarer Weg in   und   eine 1-Form auf  . Dann ist das Integral von   entlang   definiert als:

 

Dabei bezeichnet   die Ableitung von   nach dem Parameter  .

Geometrische Interpretation des KurvenintegralsBearbeiten

Eine stetig differenzierbare Funktion   stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter   kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt   befindet man sich am Ort  . Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort   gefahren. Also zum Zeitpunkt   ist der Endpunkt   der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt   der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung  .

Es ist anschaulich klar, dass dieselbe Kurve auf unterschiedliche Weise überfahren werden kann. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist deshalb gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist. Mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, also erfolgt die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

 
Kurve   nach der Bogenlänge parametrisiert.

Im Anschauungsraum   können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor   entspricht der Vektor  , für den

  für alle  

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

 

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors   auf die Tangente   an die Kurve:

 

Exakte und geschlossene FormenBearbeiten

Eine stetig differenzierbare Funktion   heißt Stammfunktion der 1-Form  , wenn gilt:

 

Eine 1-Form heißt exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form   heißt geschlossen, wenn gilt:

  für alle  .

Allgemeiner kann ein totales Differential definiert werden, das jeder 1-Form eine 2-Form   zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn   gilt. Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Kurvenintegral des totalen DifferentialsBearbeiten

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials   entlang eines Weges   gilt:

 

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also  , ist somit gleich Null:

 

Im Spezialfall   und   ergibt sich der Fundamentalsatz der Analysis, da das Integral auf der linken Seite

 

ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

Existenz einer StammfunktionBearbeiten

  • Wie bereits erwähnt, ist Geschlossenheit eine notwendige Bedingung für Exaktheit. Das Poincaré-Lemma besagt, dass die Hindernisse für die Umkehrung globaler Natur sind: In einem einfach zusammenhängenden, insbesondere in jedem sternförmigen Gebiet   besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion. Insbesondere ist jede geschlossene pfaffsche Form lokal exakt.
  • Eine stetige Pfaffsche Form   auf einem Gebiet   besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von   entlang jeder geschlossenen Kurve   in   verschwindet.

Physikalische Beispiele für Pfaffsche FormenBearbeiten

Erstes Beispiel „Kraftfeld“Bearbeiten

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort   ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt   einen Kraftvektor   zu. Jedem Kraftvektor   kann eine lineare Abbildung   zugeordnet werden, die mittels des Skalarproduktes   einen beliebigen Vektor   linear auf den Zahlenkörper   abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei   mit   oder   die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

 .

Die Differentiale   sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

 .

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges   von einem Ort   zu einem Ort   zu bewegen. Die Größe   der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

 

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe   der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion   eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft   genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials   wiederum die Kraft   dar. Es gilt:

 

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

Zweites Beispiel „Entropie“Bearbeiten

Eine weitere wichtige Anwendung der Theorie der Differentialformen liegt im Bereich der Thermodynamik. Gemäß der Clausiusschen Ungleichung gilt:

 

  stellt die Temperatur des thermodynamischen Systems und   den Wärmeaustauschkontakt des Systems mit seiner Umgebung dar. Das thermodynamische System kann beispielsweise ein Gas darstellen, dessen unabhängige Zustandsgrößen Temperatur  , Druck   und Volumen   des Gases sind. Die Koordinatendarstellung des Wärmeaustauschkontakts ist damit gegeben durch:

 .

Das vorstehende Integral wird entlang eines geschlossenen Weges   im dreidimensionalen Zustandsraum   gebildet. Ein geschlossener Weg   im Zustandsraum wird in der Thermodynamik Kreisprozess genannt. Die Differentialform   besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn jeder Kreisprozess reversibel ist:

 

In diesem Fall besitzt die Pfaffsche Form   eine Stammfunktion  , die Entropie genannt wird. Für reversible Kreisprozesse gilt:

 

  stellt einen integrierenden Faktor dar, der aus der Differentialform   ein totales Differential   erzeugt.

Hieraus folgt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

 

oder

 

In einem isolierten System gibt es keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung, weshalb gilt  . Es folgt aus dem zweiten Hauptsatz, dass die Entropie eines isolierten Systems nicht abnehmen kann.

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch mathematischen Physik). Vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Günther J. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-519-00515-8, S. 63, books.google.de