Pfaffsche Form

In den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Differentialgeometrie bezeichnet Pfaffsche Form (nach Johann Friedrich Pfaff)[1], Kovektorfeld[2] oder kurz 1-Form[3] ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem Vektorfeld ist. Es ist eine Differentialform vom Grad 1. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für Wegintegrale.

DefinitionBearbeiten

Mit   wird im Folgenden eine offene Teilmenge des euklidischen Raums bezeichnet. Eine Pfaffsche Form   auf   ordnet jedem Punkt   eine Linearform   zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes   des Tangentialraumes  . Der Raum   wird Kotangentialraum genannt. Mit   wird die disjunkte Vereinigung aller Kotangentialräume bezeichnet. Dieser Raum heißt Kotangentialbündel

Eine Pfaffsche Form   ist also eine Abbildung

 .

Andere DefinitionenBearbeiten

Sei weiterhin   eine offene Teilmenge. Obige Definition ist zu jeder der folgenden Aussagen äquivalent:

  • Eine differenzierbare Pfaffsche Form ist eine  -lineare Abbildung  , wobei   den Vektorraum der differenzierbaren Vektorfelder auf   bezeichnet. Stetige oder messbare Pfaffsche Formen sind analog definiert.
  • Die oben gegebene Menge   wird als Kotangentialbündel bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale Vektorbündel des Tangentialbündels. Eine Pfaffsche Form kann damit als Schnitt des Kotangentialbündels definiert werden.
  • Die Pfaffschen Formen sind genau die kovarianten Tensorfelder erster Stufe.

Totales Differential einer FunktionBearbeiten

Ein zentrales Beispiel einer Pfaffschen Form ist das totale Differential einer differenzierbaren Funktion.

Sei also   eine differenzierbare Funktion und ist   ein Tangentialvektor, so ist das totale Differential   definiert als

 ,

also gleich der Richtungsableitung von   in Richtung  .

Ist also   ein Weg mit   und  , so ist

 .

Es gilt:

  •   falls   eine konstante Funktion ist;
  •   für differenzierbare Funktionen  .

Ist auf   ein Skalarprodukt   gegeben, so lässt sich das totale Differential von   mit Hilfe des Gradienten darstellen:

 .

KoordinatendarstellungBearbeiten

Es sei   ein Koordinatensystem auf der offenen Menge  . Die Koordinaten können als Funktionen

 

aufgefasst werden, die einem Punkt seine  -te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale   dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt   ist

 

eine Vektorraumbasis von  . Somit hat jeder Kotangentialvektor   eine Koordinatendarstellung

 

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten  . Also kann auch jede Pfaffsche Form   auf eindeutige Weise durch

 

mit Funktionen   dargestellt werden.[4]

Die totale Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion   hat die Darstellung

 .

KurvenintegralBearbeiten

Definition des KurvenintegralsBearbeiten

Es sei   ein stetig differenzierbarer Weg in   und   eine 1-Form auf  . Dann ist das Integral von   entlang   definiert als:

 

Dabei bezeichnet   die Ableitung von   nach dem Parameter  .

Geometrische Interpretation des KurvenintegralsBearbeiten

Eine stetig differenzierbare Funktion   stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter   kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt   befindet man sich am Ort  . Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort   gefahren. Also zum Zeitpunkt   ist der Endpunkt   der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt   der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung  .

Dieselbe Kurve kann auf unterschiedliche Weise durchfahren werden. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist, mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, erfolgt also die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

 
Kurve   nach der Bogenlänge parametrisiert

Im Anschauungsraum   können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor   entspricht der Vektor  , für den

  für alle  

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

 

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors   auf die Tangente   an die Kurve:

 

Kurvenintegral des totalen DifferentialsBearbeiten

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials   entlang eines Weges   gilt:

 

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also  , ist somit gleich Null:

 

Im Spezialfall   und   ergibt sich der Fundamentalsatz der Analysis, da das Integral auf der linken Seite

 

ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

StammfunktionBearbeiten

Jede stetige Differentialform   auf einem Intervall   besitzt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eine Stammfunktion, also eine Funktion   mit  . Im mehrdimensionalen Fall gilt dies nicht mehr.

Definition der Stammfunktion für Pfaffsche FormenBearbeiten

Eine stetig differenzierbare Funktion   heißt Stammfunktion der Pfaffschen Form  , wenn

 

gilt.[5]

Exakte und geschlossene FormenBearbeiten

Eine 1-Form heißt exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form   heißt geschlossen, wenn gilt:

  für alle  

Allgemeiner kann ein totales Differential definiert werden, das jeder 1-Form eine 2-Form   zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn   gilt. Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Existenz einer StammfunktionBearbeiten

Geschlossenheit einer Pfaffschen Form ist also eine notwendige Bedingung für Exaktheit. Das Poincaré-Lemma macht eine Aussage darüber, wann geschlossene Pfaffsche Formen auch exakt sind. Die Voraussetzungen für die Umkehrung sind von globaler Natur: In einem sternförmigen Gebiet   besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion – ist also exakt. Insbesondere ist jede geschlossene Pfaffsche Form lokal exakt.

Eine stetige Pfaffsche Form   auf einem Gebiet   besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von   entlang jeder geschlossenen Kurve   in   verschwindet.[6]

Pfaffsche Formen auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

Bisher wurden Pfaffsche Formen auf einer offenen Menge des   betrachtet. Es ist möglich diese Definition auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten zu erweitern. Mannigfaltigkeiten sind Räume die lokal wie der   aussehen. So kann man Pfaffsche Formen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   ebenfalls als Schnitt im Kotangentialbündel   definieren.[3]

Gleichungen der Form  , wobei   eine Pfaffsche Form ist, werden Pfaffsche Gleichungen genannt. Ist   eine (immersierte) Untermannigfaltigkeit von  , so heißt   Integralmannigfaltigkeit, wenn ein   existiert, so dass für alle   die Pfaffsche Gleichung   für alle   erfüllt ist.[7]

Physikalische Beispiele für Pfaffsche FormenBearbeiten

KraftfeldBearbeiten

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort   ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt   einen Kraftvektor   zu. Jedem Kraftvektor   kann eine lineare Abbildung   zugeordnet werden, die mittels des Skalarproduktes   einen beliebigen Vektor   linear auf den Zahlenkörper   abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei   mit   oder   die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

 

Die Differentiale   sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

 .

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges   von einem Ort   zu einem Ort   zu bewegen. Die Größe   der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

 .

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe   der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion   eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft   genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials   wiederum die Kraft   dar. Es gilt:

 .

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

ThermodynamikBearbeiten

In der Thermodynamik werden Gesetzmäßigkeiten meist als Beziehungen zwischen 1-Formen formuliert. Den Gleichgewichtszuständen eines thermodynamischen Systems entsprechen im mathematischen Modell Punkte einer reellen Mannigfaltigkeit  . Zur eindeutigen Kennzeichnung eines Gleichgewichtszustandes reicht bei einfachen thermodynamischen Systemen die Angabe von   Arbeitskoordinaten und dem Wert der inneren Energie   des Systems aus. Diese Größen bilden Tupel   eines Koordinatensystems, das die Mannigfaltigkeit   eineindeutig auf ein Gebiet   abbildet. Die Arbeitsparameter   sind je nach dem betrachteten konkreten System etwa Volumenwerte oder andere messbare Größen, mit welchen im mathematischen Modell der Zustand der äußeren Bedingungen des Systems erfasst werden kann.[8][9]

Wenn bei einer adiabatischen Zustandsänderung allein die Arbeitsparameter quasistatisch verändert werden, so dass dem System praktisch zu jedem Zeitpunkt ein Gleichgewichtszustand   zugeordnet werden kann, ergibt ein Wegintegral längs des Prozessweges in   über eine 1-Form der Gestalt

 

die an dem System bei dem Prozess geleistete Arbeit und damit die Zunahme der inneren Energie. In einführenden Lehrbüchern der Thermodynamik wird häufig das einfache thermodynamische System bestehend aus einem Gas in einem Kolben als Beispiel betrachtet. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Arbeitskoordinate nämlich das Volumen, die obige 1-Form reduziert sich auf den Ausdruck

 

und die Funktion   ist gleich dem Negativen des Gasdrucks:  .

Die innere Energie   ist als eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems eine reelle Funktion über der Mannigfaltigkeit  . Änderungen der inneren Energie werden durch ihr totales Differential   beschrieben. Für konkrete einfache thermodynamische Systeme lässt sich jeweils eine 1-Form finden, welche die Energieänderungen durch verschiedene äußere Beeinflussungen und Stoffumwandlungen in dem System erfasst. Die 1-Form   lässt sich durch

 

darstellen. In dieser Beziehung beschreibt der Anteil   die dem System zugeführte Wärme, wobei   die Temperatur und   die Entropie des Systems sind. Der zweite Term auf der rechten Seite berücksichtigt, die oben erläuterte Arbeit an dem System mittels äußerer Vorrichtungen. Die   im dritten Term entsprechen den Stoffmengen der Reinstoffe jeweils getrennt für die einzelnen Phasen des Systems und die   sind die zugeordneten chemischen Potentiale. Im Allgemeinen müssen die Stoffmengen einen Satz von stöchiometrischen Bilanzgleichungen befriedigen. Stoffmengen, die durch diese stöchiometrischen Gleichungen unbestimmt bleiben, werden in dem oben betrachteten Tupel als zusätzliche Koordinaten berücksichtigt.[10]

Da bei thermodynamischen Fragestellungen oft nicht die Größen   und   konstant gehalten oder im Experiment kontrolliert verändert werden können, sondern eher andere Größen wie die Temperatur   oder der Druck  , wechselt man je nach Fragestellung oft zu anderen Koordinaten und schreibt die zugehörigen 1-Formen in anderen Koordinatendifferentialen, hierbei ist die Kenntnis der thermodynamischen Potentiale von Vorteil.[10]

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im   und Anwendungen. 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch mathematischen Physik). Vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6.
  • Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer, 5. Auflage, 2006, ISBN 9783540350774, Kapitel Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen, Kurvenintregrale, S. 177–196.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Günther J. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-519-00515-8, S. 63, books.google.de
  2. Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. 5. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-1007-6, S. 39.
  3. a b John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 130.
  4. Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im   mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1, S. 193–194.
  5. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 182.
  6. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 183–184.
  7. Pfaffsche Gleichung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  8. Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV § 1 Thermostatik (1.1 Der Zustandsraum und 1.2 Der Energiesatz), S. 6–29.
  9. en:Theodore Frankel: The Geometry of Physics – An Introduction. korrigierte und ergänzte Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-38753-1, 6.3 Heuristic Thermodynamics via Caratheodory, S. 178–187.
  10. a b Klaus Stierstadt: Thermodynamik für das Bachelorstudium. 2. Auflage. Springer, Berlin, New York 2018, 9 Thermodynamik der Stoffe und 11 Chemisches Potenzial, doi:10.1007/978-3-662-55716-7.