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Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion   versteht man eine differenzierbare Funktion   deren Ableitungsfunktion   mit   übereinstimmt. Ist also   auf einem Intervall   definiert, so muss   auf   definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl   aus   gelten:

 

Existenz und EindeutigkeitBearbeiten

Jede auf einem Intervall stetige Funktion   besitzt eine Stammfunktion. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist   nämlich integrierbar und die Integralfunktion

 

ist eine Stammfunktion von  .

Ist   auf   integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen   nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. Notwendig für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass die Funktion den Zwischenwertsatz erfüllt. Dies folgt aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen.

Besitzt eine Funktion   eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich   eine Stammfunktion von  , so ist für jede beliebige reelle Zahl   auch die durch   definierte Funktion   eine Stammfunktion von  . Ist der Definitionsbereich von   ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen: Sind   und   zwei Stammfunktionen von  , so ist   konstant. Ist der Definitionsbereich von   kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen von   nicht notwendigerweise konstant, aber lokal konstant, das heißt, konstant auf jeder zusammenhängenden Teilmenge des Definitionsbereichs.

Unbestimmtes IntegralBearbeiten

Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral   von   als Synonym für eine Stammfunktion verstanden.[1] Das Problem dieser Definition ist, dass der Ausdruck   widersinnig ist. Denn in diesem Fall ist das unbestimmte Integral keine Abbildung, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion   abgebildet werden soll. Da die Konstante, um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck   als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren.[2] Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte Äquivalenzklassen sind.

Eine etwas weniger geläufige Methode, das unbestimmte Integral zu definieren, ist es, es als Parameterintegral

 

aufzufassen.[3] Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt dieser Ausdruck für jede stetige Funktion   eine Stammfunktion von  . Erweitert man diese Definition noch auf Lebesgue-Integrale über beliebigen Maßräumen, so ist das unbestimmte Integral im Allgemeinen keine Stammfunktion mehr.[4]

BeispieleBearbeiten

  • Eine Stammfunktion der Polynomfunktion   ist  . Die Konstante   wurde dabei frei gewählt, in diesem Fall konnte diese Stammfunktion durch Umkehrung elementarer Ableitungsregeln gewonnen werden.
  • Betrachtet man die Funktion
     
    dann gilt  . Die Abbildung   ist auf   eine Stammfunktion von  , nicht jedoch auf ganz  , denn   ist für   nicht differenzierbar.

AnwendungBearbeiten

Ist   eine auf dem kompakten, also endlichen und abgeschlossenen Intervall   stetige (oder allgemeiner Riemann-integrierbare[5]) Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion   von   das bestimmte Integral von   über   berechnen:

 

Stammfunktionen werden daher für verschiedene Berechnungen benötigt, z. B.:

Abgeschlossenheit/IntegrationsregelnBearbeiten

Für das Differenzieren gibt es einfache Regeln. Dagegen ist die Situation beim unbestimmten Integrieren ganz anders, da die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt, z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen   und  . Auch die Klasse der so genannten elementaren Funktionen ist nicht abgeschlossen. So hat Joseph Liouville bewiesen, dass die einfache Funktion   keine elementare Stammfunktion besitzt. Auch die einfache Funktion   besitzt keine elementare Stammfunktion. Dagegen ist  .

Die Technik des Integrierens basiert auf folgenden Integrationsregeln:

Da es keine allgemeine Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen gibt, werden Stammfunktionen in sogenannten Integraltafeln tabelliert. Computeralgebrasysteme (CAS) sind heute in der Lage, fast alle bisher tabellierten Integrale zu berechnen. Der Risch-Algorithmus löst das Problem der algebraischen Integration elementarer Funktionen und kann entscheiden, ob eine elementare Stammfunktion existiert.

Stammfunktionen für komplexe FunktionenBearbeiten

Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch für komplexe Funktionen formulieren. Weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist   ein Gebiet,   eine holomorphe Funktion und  , dann gibt es eine Umgebung   von   in   und eine Stammfunktion   von  , d. h.   für alle  .

Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz   hängt mit topologischen Eigenschaften von   zusammen.

Für eine holomorphe Funktion   mit   offen und zusammenhängend sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. Die Funktion   hat eine Stammfunktion   auf ganz  , das heißt,   ist holomorph und   ist die komplexe Ableitung von  .
  2. Wegintegrale über   hängen nur von den Endpunkten des Weges ab.
  3. Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0.

Für ein Gebiet   sind äquivalent:

  1. Jede holomorphe Funktion   hat eine Stammfunktion  .
  2. Jeder stetige, geschlossene Weg   ist nullhomotop.
  3. Jeder stetige, geschlossene Weg   ist nullhomolog.
  4.   ist einfach zusammenhängend.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Stammfunktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, Kap. 76.
  2. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201
  3. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 201.
  4. I. P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt am Main, ISBN 3-87144-217-8, S. 408.
  5. Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1977, ISBN 3-423-03008-9, S. 333.