Residuum (Funktionentheorie)

Begriff der Funktionentheorie

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

DefinitionBearbeiten

Komplexe GebieteBearbeiten

Sei   ein Gebiet,   isoliert in   und   holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt   eine punktierte Umgebung  , die relativ kompakt in   liegt, mit   holomorph.

In diesem Fall besitzt   auf   eine Laurententwicklung  . Dann bekommt man das Residuum von   in   als Koeffizienten der Laurent-Reihe

 

Wenn   ein Pol erster Ordnung ist, dann ist

 

Wenn   ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist

 

Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als

 

berechnen kann.

Riemannsche ZahlenkugelBearbeiten

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel   erweitern. Sei   wieder eine diskrete Menge in   und   eine holomorphe Funktion.

Dann ist für alle   mit   das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.

Für   setzt man

 

Wenn

 

ist, dann kann man das Residuum in Unendlich durch

 

berechnen. Wenn hingegen

 

ist, dann berechnet man das Residuum in Unendlich durch

 

Eigenschaften und AnmerkungenBearbeiten

  • Sei   ein Gebiet und   eine holomorphe Funktion in  . Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von   in   null ist.
  • An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform   sprechen kann.
  • Es gilt der Residuensatz.
  • Für rationale Funktionen   gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation:  . Dabei ist   die Menge aller Pole von   und   die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische BerechnungBearbeiten

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen   im Punkt   in der Praxis verwendet werden:

  • Das Residuum ist  -linear, d. h. für   gilt:  
  • Hat   in   eine Polstelle 1. Ordnung, gilt:  
  • Hat   in   eine Polstelle 1. Ordnung und ist   in   holomorph, gilt:  
  • Hat   in   eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt:  
  • Hat   in   eine Nullstelle 1. Ordnung und ist   in   holomorph, gilt:  
  • Hat   in   eine Polstelle  -ter Ordnung, gilt:  
  • Hat   in   eine Nullstelle  -ter Ordnung, gilt:  .
  • Hat   in   eine Nullstelle  -ter Ordnung und ist g in   holomorph, gilt:  .
  • Hat   in   eine Polstelle  -ter Ordnung, gilt:  .
  • Hat   in   eine Polstelle  -ter Ordnung und ist g in   holomorph, gilt:  .
  • Sei   in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet  , d. h.  , holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte  . Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu  . Es gilt sodann  .[1]
  • Ist das Residuum am Punkt   zu berechnen, so gilt  . Denn mit   gilt  

Die Regeln über die logarithmische Ableitung   sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

BeispieleBearbeiten

  • Wie bereits erwähnt, ist  , wenn   auf einer offenen Umgebung von   holomorph ist.
  • Ist  , so hat   in   einen Pol 1. Ordnung, und es ist  .
  •  , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn   hat in   eine Nullstelle 1. Ordnung.
  • Die fortgesetzte Gammafunktion hat in   für   Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist  .

Algebraische SichtweiseBearbeiten

Es seien   ein Körper und   eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über  . Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt   eine kanonische Abbildung

 

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in   zuordnet.

Ist   ein  -rationaler Punkt und   eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist   eine meromorphe Differentialform und   eine lokale Darstellung, und ist

 

die Laurentreihe von  , so gilt

 

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall   mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform   ist die Summe der Residuen null:

 

QuellenBearbeiten

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Steffen Timmann: Repetitorium der Funktionentheorie. Binomi Verlag, 1998, ISBN 978-3-923923-56-4, S. 120.