Sei
D
⊆
C
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }
ein Gebiet ,
D
f
{\displaystyle D_{f}}
isoliert in
D
{\displaystyle D}
und
f
:
D
∖
D
f
→
C
{\displaystyle f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }
holomorph . Dann existiert zu jedem Punkt
a
∈
D
f
{\displaystyle a\in D_{f}}
eine punktierte Umgebung
U
:=
U
r
(
a
)
∖
{
a
}
⊂
D
{\displaystyle U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D}
, die relativ kompakt in
D
{\displaystyle D}
liegt, mit
f
|
U
{\displaystyle f|_{U}}
holomorph.
In diesem Fall besitzt
f
{\displaystyle f}
auf
U
{\displaystyle U}
eine Laurententwicklung
f
|
U
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle \textstyle f|_{U}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
. Dann bekommt man das Residuum von
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
als Koeffizienten der Laurent-Reihe
Res
a
(
f
)
:=
c
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f):=c_{-1}.}
Wenn
a
{\displaystyle a}
ein Pol erster Ordnung ist, dann ist
Res
a
(
f
)
=
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)=\lim _{z\to a}(z-a)f(z).}
Wenn
a
{\displaystyle a}
ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist
Res
a
(
f
)
=
1
(
n
−
1
)
!
lim
z
→
a
d
n
−
1
d
z
n
−
1
(
(
z
−
a
)
n
f
(
z
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to a}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-a)^{n}f(z)\right).}
Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als
Res
a
(
f
)
=
1
2
π
i
∮
∂
U
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint \limits _{\partial U}f(z)dz}
berechnen kann.
Riemannsche Zahlenkugel
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Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel
P
1
=
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {P} _{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
erweitern. Sei
D
f
{\displaystyle D_{f}}
wieder eine diskrete Menge in
P
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{1}}
und
f
:
P
1
∖
D
f
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {P} _{1}\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }
eine holomorphe Funktion.
Dann ist für alle
a
∈
D
f
{\displaystyle a\in D_{f}}
mit
a
≠
∞
{\displaystyle a\neq \infty }
das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.
Für
a
=
∞
∈
D
f
{\displaystyle a=\infty \in D_{f}}
setzt man
Res
∞
(
f
)
=
−
Res
0
(
1
z
2
f
(
1
z
)
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\operatorname {Res} _{0}\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}
Wenn
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}
ist, dann kann man das Residuum in Unendlich durch
Res
∞
(
f
)
=
−
lim
|
z
|
→
∞
z
⋅
f
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)}
berechnen. Wenn hingegen
lim
|
z
|
→
∞
f
(
z
)
=
c
≠
0
,
{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}
ist, dann berechnet man das Residuum in Unendlich durch
Res
∞
(
f
)
=
lim
|
z
|
→
∞
z
2
⋅
f
′
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f)=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}
Eigenschaften und Anmerkungen
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Sei
D
⊂
C
{\displaystyle D\subset \mathbb {C} }
ein Gebiet und
f
:
D
→
C
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }
eine holomorphe Funktion in
a
{\displaystyle a}
. Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
null ist.
An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle f(z)\mathrm {d} z}
sprechen kann.
Es gilt der Residuensatz .
Für rationale Funktionen
f
:
C
^
→
C
^
{\displaystyle f:{\hat {\mathbb {C} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}}
gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation:
∑
p
(
f
)
Res
p
(
f
)
=
0
{\displaystyle \sum _{p(f)}\operatorname {Res} _{p}(f)=0}
. Dabei ist
p
(
f
)
{\displaystyle p(f)}
die Menge aller Pole von
f
{\displaystyle f}
und
C
^
=
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
die Riemannsche Zahlenkugel .
Praktische Berechnung
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Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen
f
,
g
{\displaystyle f,g}
im Punkt
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
in der Praxis verwendet werden:
Das Residuum ist
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
-linear, d. h. für
λ
,
μ
∈
C
{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }
gilt:
Res
a
(
λ
f
+
μ
g
)
=
λ
Res
a
f
+
μ
Res
a
g
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Polstelle 1. Ordnung, gilt:
Res
a
f
=
lim
z
→
a
(
z
−
a
)
f
(
z
)
{\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Polstelle 1. Ordnung und ist
g
{\displaystyle g}
in
a
{\displaystyle a}
holomorph, gilt:
Res
a
g
f
=
g
(
a
)
Res
a
f
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt:
Res
a
1
f
=
1
f
′
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Nullstelle 1. Ordnung und ist
g
{\displaystyle g}
in
a
{\displaystyle a}
holomorph, gilt:
Res
a
g
f
=
g
(
a
)
f
′
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Polstelle
n
{\displaystyle n}
-ter Ordnung, gilt:
Res
a
f
=
1
(
n
−
1
)
!
lim
z
→
a
∂
n
−
1
∂
z
n
−
1
[
(
z
−
a
)
n
f
(
z
)
]
{\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]}
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Nullstelle
n
{\displaystyle n}
-ter Ordnung, gilt:
Res
a
f
′
f
=
n
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=n}
.
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Nullstelle
n
{\displaystyle n}
-ter Ordnung und ist g in
a
{\displaystyle a}
holomorph, gilt:
Res
a
g
f
′
f
=
g
(
a
)
n
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n}
.
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Polstelle
n
{\displaystyle n}
-ter Ordnung, gilt:
Res
a
f
′
f
=
−
n
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n}
.
Hat
f
{\displaystyle f}
in
a
{\displaystyle a}
eine Polstelle
n
{\displaystyle n}
-ter Ordnung und ist g in
a
{\displaystyle a}
holomorph, gilt:
Res
a
g
f
′
f
=
−
g
(
a
)
n
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n}
.
Sei
f
{\displaystyle f}
in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet
G
{\displaystyle G}
, d. h.
z
∈
G
⇒
z
¯
∈
G
{\displaystyle z\in G\Rightarrow {\overline {z}}\in G}
, holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte
f
(
G
∩
R
)
⊂
R
{\displaystyle f(G\cap \mathbb {R} )\subset \mathbb {R} }
. Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
. Es gilt sodann
Res
a
¯
f
=
Res
a
f
¯
{\displaystyle \operatorname {Res} _{\overline {a}}f={\overline {\operatorname {Res} _{a}f}}}
.[1]
Ist das Residuum am Punkt
∞
{\displaystyle \infty }
zu berechnen, so gilt
Res
∞
f
=
Res
0
(
−
1
z
2
f
(
1
z
)
)
{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }f=\operatorname {Res} _{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)}
. Denn mit
w
=
1
z
{\displaystyle w={\tfrac {1}{z}}}
gilt
f
(
w
)
d
w
=
f
(
1
z
)
d
1
z
=
−
1
z
2
f
(
1
z
)
d
z
{\displaystyle f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z}
Die Regeln über die logarithmische Ableitung
f
′
f
{\displaystyle {\tfrac {f'}{f}}}
sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.
Wie bereits erwähnt, ist
Res
a
f
=
0
{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}f=0}
, wenn
f
{\displaystyle f}
auf einer offenen Umgebung von
a
{\displaystyle a}
holomorph ist.
Ist
f
(
z
)
=
1
z
{\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}}
, so hat
f
{\displaystyle f}
in
0
{\displaystyle 0}
einen Pol 1. Ordnung, und es ist
Res
0
f
=
1
{\displaystyle \operatorname {Res} _{0}f=1}
.
Res
1
z
z
2
−
1
=
1
2
{\displaystyle \operatorname {Res} _{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}}
, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn
z
↦
z
2
−
1
{\displaystyle z\mapsto z^{2}-1}
hat in
1
{\displaystyle 1}
eine Nullstelle 1. Ordnung.
Die fortgesetzte Gammafunktion hat in
−
n
{\displaystyle -n}
für
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist
Res
−
n
Γ
=
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}}
.
Algebraische Sichtweise
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Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.