Schwarzsches Spiegelungsprinzip

mathematischer Satz

Das schwarzsche Spiegelungsprinzip (nach Hermann Schwarz) ist eine Aussage der Funktionentheorie über holomorphe Funktionen. Es erlaubt, unter gewissen Voraussetzungen, eine holomorphe Funktion durch Spiegelung an der reellen Achse holomorph fortzusetzen.

AussageBearbeiten

Es bezeichne   eine offene Teilmenge (in der Teilraumtopologie) der abgeschlossenen oberen Halbebene  . Sei   eine stetige Funktion, die auf   holomorph ist und auf   nur reelle Werte annimmt. Dann ist die gespiegelte Funktion

 

holomorph auf  , wobei  .

BeweisideeBearbeiten

Die Aussage folgt leicht aus dem Satz von Morera. Dazu muss man nur zeigen, dass das Integral von   über jedes in   gelegene abgeschlossene Dreieck verschwindet.

Für Dreiecke, die ganz in   oder ganz in   liegen, folgt dies sofort aus der angenommenen Holomorphie. Für Dreiecke, die einen Punkt oder eine Seite mit der reellen Achse gemeinsam haben, folgt die Aussage mit einem Stetigkeitsargument, indem man das Dreieck etwas nach oben bzw. unten verschiebt.

LiteraturBearbeiten

  • R. Remmert: Funktionentheorie I Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1984