Relativ kompakte Teilmenge

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Eine relativ kompakte Teilmenge (oder präkompakte Teilmenge) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Es handelt sich um eine Abschwächung des topologischen Begriffs des kompakten Raums.

DefinitionBearbeiten

Eine Teilmenge   eines topologischen Raumes   heißt relativ kompakt, wenn ihr topologischer Abschluss   in   kompakt ist.   selbst muss dabei nicht kompakt sein. Ist jedoch   bereits eine abgeschlossene Teilmenge von  , ist also  , so ist   eine kompakte Teilmenge von  .

Manche Autoren beschreiben ein relativ kompaktes   mittels  .

Andere CharakterisierungenBearbeiten

  • Es sei   eine (in Anwendungen häufig: offene) Teilmenge. Eine Teilmenge   ist genau dann relativ kompakt in  , wenn   beschränkt ist und der Abschluss von   in   den Rand von   nicht trifft.
  • Es seien allgemeiner   eine Teilmenge eines Hausdorffraumes   und   eine Teilmenge von  ; weiter sei   der Abschluss von   in  . Dann ist   genau dann relativ kompakt in  , wenn   kompakt und in   enthalten ist.
  • Eine Teilmenge   eines metrischen Raumes   ist genau dann relativ kompakt, falls jede Folge in   eine in   konvergente Teilfolge hat.

Ein BeispielBearbeiten

Als Beispiel soll eine Menge reeller Zahlen dienen (mit der üblichen euklidischen Topologie). Eine solche Menge reeller Zahlen ist kompakt, wenn jede unendliche Folge von Zahlen aus dieser Menge eine unendliche Teilfolge enthält, die einer weiteren Zahl „beliebig nahe kommt“, wobei diese weitere Zahl auch zu dieser Menge gehören muss.

Die Menge   aller reellen Zahlen zwischen   und   (aber ohne die Randpunkte   und  ) ist nicht kompakt, denn die unendliche Folge  ,  ,  ,  , ... kommt zwar dem Häufungspunkt   beliebig nahe, aber die   gehört nicht mehr zu   (dasselbe gilt auch für alle Teilfolgen).

Wie steht es aber mit der relativen Kompaktheit von   in  , wenn   die Menge aller reellen Zahlen ist? Um   zu einer kompakten Menge zu vergrößern, müssen die Häufungspunkte   und   (dem die Folge  ,  ,  ,  , ... beliebig nahe kommt) hinzugenommen werden. Auf diese Weise erhält man den Abschluss von  , das ist die Menge   aller reellen Zahlen von   bis   (einschließlich dieser beiden Randpunkte). In der Tat ist dieser Abschluss kompakt, also ist   relativ kompakt in  .

Während es zu   ( ) keine Randpunkte gibt, existiert zur Menge   aller positiven reellen Zahlen der Randpunkt   (der aber nicht zu   gehört). Weil der Abschluss   diesen Randpunkt trifft, ist der Abschluss von   in   gleich der Menge   aller reellen Zahlen zwischen   (ausschließlich) und   (einschließlich). Diese Menge ist aber nicht kompakt (weil ihr wieder der Häufungspunkt   fehlt),   ist also nicht relativ kompakt in  .

AnwendungenBearbeiten

Der Begriff der relativen Kompaktheit wird u. a. verwendet

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel u. a. 1989, ISBN 3-7643-2229-2.