Totalbeschränktheit

Der Begriff der Totalbeschränktheit (oder Präkompaktheit) benennt eine bestimmte Beschränktheitseigenschaft eines metrischen Raums. Man kann zeigen, dass ein metrischer Raum genau dann kompakt ist, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

DefinitionBearbeiten

Eine Teilmenge   eines metrischen Raumes   heißt totalbeschränkt (oder auch präkompakt), wenn es zu jedem   eine endliche Menge von Punkten   (ein  -Netz) gibt, so dass

 

gilt. Das heißt, die Teilmenge   wird für jedes   von endlich vielen  -Kugeln überdeckt.

Äquivalente DefinitionBearbeiten

Es lässt sich zeigen, dass ein metrischer Raum genau dann totalbeschränkt ist, wenn jede Folge eine Teilfolge besitzt, die eine Cauchy-Folge ist.

EigenschaftenBearbeiten

Obwohl die beiden Begriffe unabhängig voneinander in verschiedenen Kontexten entwickelt wurden, gilt die Äquivalenz:

Eine Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes ist genau dann totalbeschränkt, wenn sie relativ kompakt ist.

Die Motivation zur eigenständigen Betrachtung der Totalbeschränktheit liegt in der folgenden Aussage:

Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Dies ist in gewisser Weise eine Verallgemeinerung des Satzes von Heine-Borel, der aussagt, dass eine Teilmenge des   genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Verallgemeinerung auf uniforme RäumeBearbeiten

Wie viele andere Begriffe aus der Theorie metrischer Räume, lässt sich auch der Begriff totalbeschränkt, bzw. präkompakt verallgemeinern auf die Klasse der uniformen Räume:

Eine Teilmenge   eines uniformen Raumes   heißt präkompakt, wenn es zu jedem   eine endliche Menge von Punkten   gibt, so dass

  gilt.

Äquivalent ist, dass jedes Netz ein Cauchy-Teilnetz besitzt.

Eine weitere Verallgemeinerung auf beliebige topologische Räume ist allerdings nicht möglich. Totalbeschränktheit, bzw. Präkompaktheit ist keine topologische Eigenschaft, etwa ist das Intervall   zwar homöomorph zu  , als metrischer Raum aufgefasst jedoch im Gegensatz zu letzterem präkompakt.

LiteraturBearbeiten