Identitätssatz für holomorphe Funktionen

mathematischer Satz

Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie. Er besagt, dass aufgrund der starken Einschränkungen an holomorphe Funktionen oft schon die lokale Gleichheit zweier solcher Funktionen ausreicht, um diese auch global zu folgern.

IdentitätssatzBearbeiten

Seien   und   holomorphe Funktionen auf einer Umgebung   von   und sei   ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge  , dann existiert eine Umgebung   von   mit   auf ganz  .

Identitätssatz für GebieteBearbeiten

Für Gebiete, insbesondere da sie zusammenhängend sind, lässt sich die Aussage des Identitätssatzes leicht verschärfen und wird auch fundamentaler Satz der Funktionentheorie genannt.[1]

AussageBearbeiten

Seien   ein Gebiet und   und   auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1.   für alle  , das heißt die Funktionen stimmen auf dem ganzen Gebiet überein.
  2. Die Koinzidenzmenge   hat einen Häufungspunkt in  .
  3. Es gibt ein  , so dass   für alle  , das heißt in einem Punkt von   stimmen die Funktionen und alle ihre Ableitungen überein.

BeweisBearbeiten

Holomorphe Funktionen sind analytisch, d. h. lokal jeweils durch ihre Taylorreihe darstellbar.

  • 2. folgt sofort aus 1., da jeder Punkt in   ein Häufungspunkt von   ist.
  • 3. folgt aus 2. durch Widerspruchsbeweis. Sei   ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge. Ohne Einschränkung können wir   voraussetzen. Annahme: Es gibt ein   mit  . Sei   das kleinste solche. Dann ist in einer Umgebung der Null   mit   und die Nullstellenmenge von   ist gleich der Koinzidenzmenge, da   stetig ist. Insbesondere gilt   im Widerspruch zur Minimalität von  .
  • 1. folgt aus 3., weil   zusammenhängend ist. Es genügt zu zeigen, dass die Menge   nichtleer, offen und abgeschlossen in   ist. Ersteres gilt nach Voraussetzung, letzteres ist klar, da   ist, wobei die   als stetige Urbilder der abgeschlossenen Menge   wieder abgeschlossen sind und der Durchschnitt abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Schließlich ist   offen: Ist  , dann ist   als analytische Funktion in einer Umgebung von   gleich ihrer Taylorreihe, also identisch null. Diese Umgebung gehört also auch zu  .

BeispielBearbeiten

Beim zweiten Punkt ist es essentiell, dass der Häufungspunkt im Gebiet   und nicht auf dessen Rand liegt. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Die Funktion   ist holomorph auf  , die Folge   liegt darin und konvergiert gegen 0. Also ist 0 ein Häufungspunkt der Folge   und es gilt  , aber natürlich gilt auch  . Also stimmt   auf der Menge der   (die den Häufungspunkt 0 besitzt) mit der Nullfunktion überein, aber offensichtlich nicht auf ganz  .

FolgerungenBearbeiten

Eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen
Eine wesentliche Folgerung aus dem Identitätssatz ist die eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen:
Kann man eine reelle Funktion holomorph auf die komplexe Ebene fortsetzen (dies ist im Allgemeinen nicht möglich), so ist diese Fortsetzung eindeutig.
Der komplexe Sinus ist daher wirklich die einzige holomorphe Fortsetzung des reellen Sinus. Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme für den komplexen Sinus.
Sonderfall g=0
Ein Sonderfall des Identitätssatzes für Gebiete, der sehr häufig angewendet wird, ergibt sich mit  :
Hat die Nullstellenmenge von   in einem Gebiet   einen Häufungspunkt, so gilt   auf ganz  .
Nullteilerfreiheit des Rings der holomorphen Funktionen
Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet   ist nullteilerfrei, d. h. aus   folgt stets   oder  . Seien hierzu   holomorph mit   und  . Dann gibt es einen Punkt   in   und eine Umgebung   von   mit   für alle  . Dann gilt aber  , und somit   nach dem Sonderfall.
Identitätssatz für Potenzreihen
Es seien
   und   
zwei Potenzreihen um den gleichen Entwicklungspunkt   mit reellen oder komplexen Koeffizienten   bzw.   und einem gemeinsamen nichttrivialen Konvergenzbereich  . Stimmen die Werte für alle   einer Folge ( ) mit   und   überein, so sind die Reihen identisch, d. h.
 
Der Beweis ergibt sich induktiv über gliedweise Differentiation einer Potenzreihe aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen.[1]
Identitätssatz für Polynome
Der Identitätssatz für Polynome ist ein Spezialfall des Identitätssatzes für Potenzreihen und ist Grundlage für den Koeffizientenvergleich.[1][2]

Mehrere VeränderlicheBearbeiten

In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher treten Nullstellenmengen mit Häufungspunkten auf. Die holomorphe Funktion   verschwindet auf der Geraden   ohne selbst die Nullfunktion zu sein. In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher gilt ein Identitätssatz in folgender Form:[3]

  • Ist   ein Gebiet und sind   zwei holomorphe Funktionen, die auf einer nicht-leeren offenen Teilmenge von   übereinstimmen, so ist   auf ganz  .

LiteraturBearbeiten

  • E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 3-540-67641-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 2 (Eig-Inn). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 476, doi:10.1007/978-3-662-53504-2.
  2. Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 3 (Inp-Mon). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53501-1, S. 131, doi:10.1007/978-3-662-53502-8.
  3. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. I.A, Theorem 6 (Identity Theorem)