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Eine Nullstellenmenge ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches einer Funktion und enthält alle Argumente, die auf die Null abgebildet werden. Nullstellenmengen finden sich in vielen Teilbereichen der Mathematik. So ist die Bestimmung der Nullstellenmenge einer Funktion sowohl Teil der Schulmathematik als auch Teil der Riemannschen Vermutung und damit eines der Millennium-Probleme.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Funktion   mit Definitionsbereich   und Zielmenge  , wobei   ein speziell ausgezeichnetes Nullelement sei. Dann heißt die Menge

 

die Nullstellenmenge der Funktion  .

BemerkungenBearbeiten

  • Die Nullstellenmenge enthält alle Nullstellen der Funktion und ist somit genau die Niveaumenge der Funktion zum Wert  .
  • Wegen   handelt es sich bei der Nullstellenmenge von   um einen Wert der zu   gehörenden Urbildfunktion. Weil deren Argument   hier einelementig ist, handelt es sich bei   um die Faser von   über  .
  • Die Zielmenge muss mindestens die Struktur eines Magmas mit Eins, also einer Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung und einem neutralen Element  , besitzen. Beispiele für solche Strukturen sind Gruppen, Ringe, Körper und Vektorräume. In den meisten Fällen entspricht die Zielmenge den reellen oder komplexen Zahlen.
  • Bei einem Gruppenhomomorphismus   mit einer (additiv geschriebenen) Gruppe   nennt man die Nullstellenmenge von   auch den Kern   von  . Das gilt insbesondere auch für solche Gruppen erweiternde algebraische Strukturen wie zum Beispiel Ringe oder Vektorräume als Zielmengen.

BeispieleBearbeiten

  • Die Polynomfunktion   mit
 
besitzt die Nullstellenmenge  .
  • Die Sinusfunktion   mit
 
besitzt die Nullstellenmenge  .
  • Die Funktion   mit
 
besitzt als Nullstellenmenge den Einheitskreis.

VarietätenBearbeiten

Ist   ein Körper,   der Polynomring in n Veränderlichen über   und ist   eine Teilmenge, so betrachtet man in der algebraischen Geometrie die Nullstellenmenge von  :

 

Man nennt diese die Varietät von  .[1] Dabei handelt es sich um den Durchschnitt der Nullstellenmengen aller Polynomfunktionen   von Polynomen aus  .

Z-MengenBearbeiten

Ist   ein topologischer Raum, so heißt eine Teilmenge   eine Z-Menge, falls sie die Nullstellenmenge einer stetigen Funktion   ist, also falls   für eine stetige Funktion   gilt. Das Z in Z-Menge kommt vom englischen Wort zero für Null her. Da   eine abgeschlossene Menge ist und da Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder abgeschlossen sind, müssen alle Z-Mengen abgeschlossen sein.[2]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel I, Definition 1.7.
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), § 4.6.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Nullstellenmenge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen