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Ein Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenfolge oder (häufiger) Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet eine (oft auch die im Sinne der Inklusion maximale) Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe punktweise konvergiert. Konvergenzgebiete sind Gebiete, also offene, zusammenhängende Teilmengen von Konvergenzbereichen. Die Begriffe Konvergenzbereich und -gebiet verallgemeinern die Begriffe „Konvergenzintervall“ bzw. „Konvergenzkreisscheibe“ aus der elementaren, reellen Analysis und der elementaren Funktionentheorie. Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen werden aus historischen Gründen gelegentlich als (verallgemeinerte) Cauchy-Hadamard-Formeln bezeichnet. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard formuliert solche Kriterien für komplexe Potenzreihen.

Inhaltsverzeichnis

Häufig gebrauchte FunktionenreihenBearbeiten

Die im Folgenden betrachteten Reihen sind immer als komplexe Reihen zu verstehen, das heißt ihre Koeffizienten sind komplex, die unabhängige Variable ist komplex, die Glieder der Reihen sind auf einer Teilmenge von   definierte Funktionen und ihre Konvergenzgebiete und -bereiche sind Teilmengen von  . Die Reihen selbst stellen natürlich nur dann Funktionen dar, wenn ihr maximaler Konvergenzbereich nicht leer ist.

  • Für eine Potenzreihe ist das maximale Konvergenzgebiet eine offene Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt  , deren Radius Konvergenzradius   genannt wird oder (für  ) ihr maximaler Konvergenzbereich ist  , dann besitzt sie kein Konvergenzgebiet.
  • Für eine Laurentreihe ist das maximale Konvergenzgebiet ein offener Kreisring um den Entwicklungspunkt oder es gibt kein Konvergenzgebiet.
  • Für eine Dirichletreihe ist das maximale Konvergenzgebiet   eine „rechte“ Halbebene, die in der komplexen Zahlenebene durch   gegeben ist. Die Zahl   heißt die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe. Auch im Falle   spricht man von einer (formalen) Dirichletreihe mit dieser Konvergenzabszisse, allerdings konvergiert diese in keinem Punkt von  , daher besitzt sie auch keine Konvergenzgebiete und ihr einziger und maximaler Konvergenzbereich ist die leere Menge.

Sofern überhaupt ein Konvergenzgebiet existiert, gilt in all diesen drei Fällen:

  • Es existiert genau ein maximales Konvergenzgebiet (das Konvergenzgebiet).
  • Die Reihe konvergiert auf jedem Konvergenzgebiet kompakt.
  • Der maximale Konvergenzbereich ist eine Teilmenge der abgeschlossenen Hülle des maximalen Konvergenzgebietes und also
  • ist das maximale Konvergenzgebiet genau das Innere des maximalen Konvergenzbereiches.
  • Die Reihe divergiert in jedem Punkt, der nicht in der abgeschlossenen Hülle des maximalen Konvergenzgebietes liegt.
  • Es gibt Reihen, die in einigen, aber nicht in allen Punkten, die auf dem Rand des maximalen Konvergenzgebietes liegen, konvergieren. Die Konvergenz in einem solchen Randpunkt kann auch absolut sein, ohne dass sich daraus direkt auf das Konvergenzverhalten in anderen Randpunkten schließen lässt.

Verallgemeinerung für metrische RäumeBearbeiten

Sei   ein metrischer Raum und   ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen   gegeben. Dann

  • konvergiert die Reihe   im Punkt  , falls die Folge der Partialsummen  , die eine Punktfolge im Wertebereich   ist, konvergiert.
  • konvergiert die Reihe   absolut im Punkt  , falls die Zahlenreihe über die Normen der Summanden   konvergiert.

Jede Menge von Punkten  , in denen Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt. Jede Zusammenhangskomponente des Inneren der Menge aller Punkte, in denen die Folge konvergiert, ein maximales Konvergenzgebiet.

Bemerkung: In Randpunkten eines Konvergenzgebietes oder eines Konvergenzbereiches muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe kann im Wertebereich sogar divergent sein.

Der klassische Satz von Cauchy-HadamardBearbeiten

Die folgenden Aussagen über die Konvergenzbereiche von komplexen Potenzreihen wurden (im Wesentlichen) zunächst von Augustin Louis Cauchy 1821 formuliert[1], aber allgemein kaum zur Kenntnis genommen (Bernhard Riemann verwendete sie allerdings 1856 in seinen Vorlesungsnotizen)[2][3], bis sie von Jacques Hadamard wiederentdeckt wurden.[4] Dieser veröffentlichte sie 1888.[5] Daher werden sie (und einige moderne Verallgemeinerungen) als Formel oder auch Satz von Cauchy-Hadamard bezeichnet. Modern, aber noch ohne Verallgemeinerungen auf andere als Potenzreihen formuliert, besagt der Satz von Cauchy-Hadamard:

Sei  ,   und   mit   für jedes  , d. h. die Funktionenreihe   sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

  1. Die offene Kreisscheibe   um den Nullpunkt mit Radius   gehört zum maximalen Konvergenzbereich, falls   für alle bis auf endlich viele   erfüllt ist.
  2. Das Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe   schneidet den maximalen Konvergenzbereich nicht, wenn   für unendlich viele   gilt.
  3. Es gibt einen Radius, bei dem sich die beiden vorgenannten Aussagen „treffen“. Als Konvergenzradius wird   bezeichnet, falls der limes superior als reelle Zahl, also im eigentlichen Sinn existiert und nicht 0 ist. Ist der limes superior 0, dann ist der Konvergenzradius  , ist der limes superior  , dann ist der Konvergenzradius  . Der maximale Konvergenzbereich der Potenzreihe enthält die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius  . Im Falle   ist dies die leere Menge, sonst das maximale Konvergenzgebiet.
  4. Die Potenzreihe konvergiert in allen Punkten, deren Abstand zur Null kleiner als der Konvergenzradius   ist. Außerdem divergiert sie in allen Punkten, deren Abstand größer   ist. Über die Konvergenz in Punkten, deren Abstand zum Nullpunkt genau   ist (d. h. die Kreislinie mit diesem Radius), kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

Die letzte Aussage gilt sinngemäß ebenso für die Randpunkte der maximalen Konvergenzbereiche von Laurent- und Dirichletreihen. Auch deren maximales Konvergenzgebiet kann durch geeignete limites superiores berechnet werden.

Majoranten- und MinorantenkriteriumBearbeiten

Die folgenden Konvergenzkriterien wurden ursprünglich für Potenzreihen formuliert und auf ihnen beruht die klassische Form des Satzes von Cauchy-Hadamard. Sie gelten in der hier gegebenen Formulierung jedoch auch allgemeiner unter den oben im Abschnitt #Verallgemeinerung für metrische Räume formulierten Bedingungen.

  1. (Majorante) Gibt es eine konvergente Reihe   mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet   mit   für alle   und alle bis auf endlich viele  , so ist   Teilmenge eines maximalen Konvergenzgebietes. Die Konvergenz ist auf   absolut, gleichmäßig und kompakt, damit ist die durch die Reihe auf   definierte Grenzfunktion   auf   stetig, falls dies für alle bis auf endlich viele Partialsummen gilt.
  2. (Minorante) Ist   eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet   die Ungleichung   für alle   und für alle bis auf endlich viele  , so ist   im Komplement des maximalen Konvergenzbereiches als Teilmenge enthalten.
  3. (Limitierung) Ist das Majorantenkriterium auf einem Gebiet   erfüllt und sind alle Partialsummen der Funktionenreihe stetig auf   und ist das Majorantenkriterium auch noch für einen Randpunkt   (gegebenenfalls nach stetiger Fortsetzung der auf   stetigen Partialsummen) erfüllt, dann konvergiert die Funktionenreihe auch in   gleichmäßig und die Grenzfunktion   ist stetig bzw. stetig fortsetzbar auf   und für die Grenzfunktion bzw. ihre Fortsetzung gilt
 

BeispieleBearbeiten

  • Die Potenzreihe der natürlichen Exponentialfunktion   konvergiert überall absolut, ihr Konvergenzradius ist also   Die Konvergenz auf   ist absolut, kompakt und lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig.
  • Die formale Potenzreihe   konvergiert im Inneren der Einheitskreisscheibe absolut gegen  . Für   ist ihr maximales Konvergenzgebiet die Menge der komplexen Zahlen ( ), ansonsten genau dieser Einheitskreis ( ).
  • Die formale Dirichletreihe der Riemannschen Zetafunktion   hat die Konvergenzabszisse  . Für den Randpunkt   des maximalen Konvergenzgebietes   ist diese Dirichletreihe die divergente harmonische Reihe.

LiteraturBearbeiten

LehrbücherBearbeiten

Zur Geschichte des Satzes von Cauchy-HadamardBearbeiten

  • Umberto Bottazzini: The Higher Calculus. A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Translated by Warren van Egmond. Springer, New York NY u. a. 1986, ISBN 0-387-96302-2 (italienisch).
  • Jacques Hadamard: Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. In: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Band 106, 1888, ISSN 0001-4036, S. 259–262 (französisch). Digitalisat.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Augustin Louis Cauchy: Cours d'analyse de l'école Royale polytechnique. Partie 1: Analyse algébrique. Debure, Paris 1821, Digitalisat.
  2. Detlef Laugwitz, Die Formel von Cauchy-Hadamard in Riemanns Nachlaß, Mathematische Semesterberichte, Band 40, 1993, S. 115–120
  3. Detlef Laugwitz, Erwin Neuenschwander, Riemann and the Cauchy-Hadamard formula for the convergence of power series, Historia Mathematica, Band 21, 1994, S. 64–70
  4. Bottazzini: The Higher Calculus. 1986, S. 115 ff.
  5. Hadamard: Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. 1888.