Hauptmenü öffnen

In der Mathematik nennt man eine Folge oder Reihe von Funktionen auf einem topologischen Raum mit Werten in einem normierten Raum kompakt konvergent, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von gleichmäßig konvergiert.

Seine Bedeutung erhält der Begriff der kompakten Konvergenz aus der Tatsache, dass aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz einer Folge oder Reihe von Funktionen die kompakte Konvergenz folgt und die Umkehrung für lokalkompakte Räume gilt. Im Allgemeinen gilt diese Umkehrung allerdings nicht, wie im Artikel zum Arens-Fort-Raum ausgeführt wird.

Die Topologie der Kompakten KonvergenzBearbeiten

Der Spezialfall normierter RäumeBearbeiten

Es sei   der Raum der Funktionen von   in den normierten Vektorraum  , die auf jeder kompakten Teilmenge von   beschränkt sind (im Sinne der Norm auf  ). Nach Definition von   existiert für zwei Abbildungen   und   aus   der auf   eingeschränkte Abstand

 

für jede (nichtleere) kompakte Teilmenge  . Für die Einschränkungen auf   ist dies eine Metrik, für   nur eine Pseudometrik, da die Einschränkungen von zwei verschiedenen Funktionen auf   übereinstimmen können. Die kompakte Konvergenz ist die Konvergenz bzgl. dieser Pseudometriken, das heißt ein Netz   konvergiert genau dann kompakt gegen   in  , falls   für alle kompakten  .

Ist der Raum   lokalkompakt und lässt er sich als Vereinigung abzählbar vieler kompakter Mengen  , also in der Form  , darstellen, dann kann man diese Pseudometriken   zu der Metrik

 

auf   zusammensetzen. Damit wird   zu einem metrischen Raum.

In allgemeineren Fällen, wenn keine solche Darstellung für   möglich oder bekannt ist, lässt sich durch ein beliebiges System kompakter Mengen  , das   überdeckt, mit den jeweiligen Pseudometriken   eine Familie von Pseudometriken   auf   auswählen, die eine uniforme Struktur auf   definieren. Auch hierzu sind die technischen Details im Artikel Pseudometrik erläutert.

Verallgemeinerung auf uniforme RäumeBearbeiten

Nun sei   ein uniformer Raum, dessen uniforme Struktur durch ein System von Pseudometriken   gegeben sei. Sei wieder   der Raum aller Funktionen  , die auf allen kompakten Mengen beschränkt sind, das heißt für die   für jedes   und jedes   endlich ist. Ein wichtiger Unterraum ist der Raum aller stetigen Funktionen  .

Ein Netz   von Funktionen in   konvergiert genau dann kompakt gegen eine Funktion  , wenn

 

für alle   und alle   kompakt. Auf   erhält man durch das System der Pseudometriken  , wobei   und   kompakt und  , eine uniforme Struktur.

Ist speziell   ein normierter Raum, so ist die uniforme Struktur auf   durch die Norm gegeben, und man erhält den oben vorgestellten Spezialfall.

Lokal kompakte und kompakte RäumeBearbeiten

Auf lokal kompakten, uniformen Räumen stimmt die Topologie der kompakten Konvergenz mit der Kompakt-Offen-Topologie überein.

Auf kompakten, uniformen Räumen wird die Topologie der kompakten Konvergenz als Topologie der gleichmäßigen Konvergenz bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  1. Potenzreihen analytischer Funktionen auf   oder   konvergieren innerhalb ihres Konvergenzintervalles bzw. -kreises kompakt.
  2. Ist  , so bildet das System   ein abzählbares System von kompakten Mengen, die   überdecken. Damit kann eine Metrik der kompakten Konvergenz auf der Abbildungsmenge   eingeführt werden.
  3. Ganz entsprechend kann man die Menge der kompakt beschränkten Abbildungen   aus einem  -dimensionalen in einen  -dimensionalen reellen Vektorraum mit einer Metrik versehen. Als Überdeckung des Urbildraums können hier z. B. Würfel (der Kantenlänge   mit Schwerpunkt im Ursprung) oder Kugeln (mit Radius   um den Ursprung) gewählt werden.
  4. Ist   ein beschränktes, einfach zusammenhängendes Gebiet der komplexen Zahlenebene, dann lässt sich   durch die Mengen   überdecken (  misst den Abstand vom Rand im Sinne der Hausdorff-Metrik, entsteht dabei für kleinere   die leere Menge, dann müssen diese aus der Familie der Pseudometriken bei der Definition der Metrik herausgenommen werden). Auch hier erweist sich damit die Topologie der kompakten Konvergenz als metrisierbar.

VollständigkeitBearbeiten

Wichtige Abbildungsräume bilden mit der Topologie der kompakten Konvergenz eine vollständige uniforme Struktur. Zwei Beispiele: Die Räume   bzw.   der auf einem Gebiet   der komplexe Zahlenebene stetigen bzw. holomorphen Funktionen bilden bezüglich der uniformen Struktur der kompakten Konvergenz vollständige uniforme Raume. In klassischer Formulierung, d. h. ohne topologische Begriffe, lässt sich dies so aussprechen:

  • Sind in einem Gebiet   die Funktionen  ,  , alle stetig (bzw. holomorph), und ist die Folge   kompakt konvergent gegen eine Grenzfunktion  , dann ist auch die Grenzfunktion   stetig (bzw. holomorph) in  .
  • Analoges gilt für Reihen   und unendliche Produkte  , wenn man sie als Funktionenfolgen betrachtet.

LiteraturBearbeiten

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie (= Grundwissen Mathematik. Bd. 5). 1. Band. 2., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-540-51238-1.
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie (= Grundwissen Mathematik. Bd. 6). 2. Band. Springer, Berlin u. a. 1991, ISBN 3-540-12783-6.